Bài tập nâng cao về lượng giác lớp 10 năm 2024

Nội dung Text: Bài tập Lượng giác lớp 10 nâng cao: Vấn đề 6 - GV. Trần Sĩ Tùng

1. Trần Sĩ Tùng Lượng giác VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân Công thức nhân đôi sin2α = 2sinα .cosα cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1− 2sin2 α 2tanα cot2 α − 1 tan2α = ; cot2α = 1− tan2 α 2cotα Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 1− cos2α sin3α = 3sinα − 4sin3 α sin2 α = 2 1+ cos2α cos3α = 4cos3 α − 3cosα 2 cos α = 3tanα − tan3 α 2 tan3α = 2 1− cos2α 1− 3tan2 α tan α = 1+ cos2α Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 5 3π a) cos2α , sin2α , tan2α khi cosα = − ,π
2. Lượng giác Trần Sĩ Tùng π π π m) M = sin .cos .cos ĐS: 2 16 16 8 8 Bài 3. Chứng minh rằng: a a a a sina P = cos cos cos ... cos = a) 2 2 2 2 3 2n a 2n.sin 2n π 2π nπ 1 b) Q = cos .cos ... cos = 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n 2π 4π 2nπ 1 c) R = cos .cos ... cos =− 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2 Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: 3 1 5 3 a) sin4 + cos4 x = + cos4x b) sin6 x + cos6 x = + cos4x 4 4 8 8 1 x x 1 c) sin x.cos3 x − cos x.sin3 x = sin4x d) sin6 − cos6 = cos x (sin2 x − 4) 4 2 2 4 1− sin2 x � π x � = 1 e) 1− sin x = 2sin2 � − � f) �π � 2 �π � �4 2 � 2cot� + x � .cos � − x � �4 � �4 � �π � 1+ cos� + x � �π x � �2 �= 1 �π � 1+ sin2x g) tan� + � . h) tan� + x �= �4 2 � �π � �4 � cos2x sin� + x � �2 � cos x �π x � tan2 2x − tan2 x i) = cot � − � k) tan x.tan3x = 1− sin x ��4 2 1− tan2 x.tan2 2x 2 l) tan x = cot x − 2cot x m) cot x + tan x = sin2x n) 1 + 1 1 + 1 1 + 1 cos x = cos x , v�� π i 0< x < . 2 2 2 2 2 2 8 2 Bài 5. a) VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi 1. Công thức biến đổi tổng thành tích Trang 68
3. Trần Sĩ Tùng Lượng giác a+b a−b sin(a + b) cosa + cosb = 2cos .cos tana + tanb = 2 2 cosa.cosb a+b a−b sin(a − b) cosa − cosb = − 2sin .sin tana − tanb = 2 2 cosa.cosb a+b a−b sin(a + b) sina + sinb = 2sin .cos cot a + cot b = 2 2 sina.sinb a+b a−b sin(b − a) sina − sinb = 2cos .sin cot a − cot b = 2 2 sina.sinb � π� � π� sinα + cosα = 2.sin�α + �= 2.cos�α− � � 4� � 4� � π� � π� sinα − cosα = 2sin�α − �= − 2cos� α+ � � 4� � 4� 2. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cosa.cosb cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b) 2 1 sin a.cosb sin(a b) sin(a b) 2 Bài 1. Biến đổi thành tổng: a) 2sin(a + b).cos(a − b) b) 2cos(a + b).cos(a − b) 13x x c) 4sin3x.sin2x.cos x d) 4sin .cos x.cos 2 2 π 2π e) sin(x + 30o ).cos(x − 30o ) f) sin .sin 5 5 g) 2sin x.sin2x.sin3x. h) 8cos x .sin2x.sin3x � π� � π� i) sin�x + � .sin�x − � .cos2x k) 4cos(a − b).cos(b − c).cos(c − a) � 6� � 6� Bài 2. Chứng minh: �π � �π � �π � �π � a) 4cos x.cos� − x � cos� + x �= cos3x b) 4sin x.sin� − x � sin� + x �= sin3x �3 � �3 � �3 � �3 � Áp dụng tính: A = sin10o.sin50o.sin70o B = cos10o.cos50o.cos70o C = sin200.sin400.sin800 D = cos200.cos400.cos800 Bài 3. Biến đổi thành tích: a) 2sin4x + 2 b) 3− 4cos2 x c) 1− 3tan2 x d) sin2x + sin4x + sin6x e) 3+ 4cos4x + cos8x f) sin5x + sin6x + sin7x + sin8x g) 1+ sin2x ﾖcos2x ﾖtan2x h) sin2(x + 90o ) − 3cos2(x − 90o ) i) cos5x + cos8x + cos9x + cos12x k) cos x + sin x + 1 Trang 69
4. Lượng giác Trần Sĩ Tùng Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: cos7x − cos8x − cos9x + cos10x sin2x + 2sin3x + sin4x a) A = b) B = sin7x − sin8x − sin9x + sin10x sin3x + 2sin4x + sin5x 1+ cos x + cos2x + cos3x sin4x + sin5x + sin6x c) C = d) D = cos x + 2cos2 x − 1 cos4x + cos5x + cos6x Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau: π 2π π 7π a) A = cos + cos b) B = tan + tan 5 5 24 24 c) C = sin 70 .sin 50o.sin2 10o 2 o 2 d) D = sin 17 + sin2 43o + sin17o.sin43o 2 o 1 1 3 e) E = − 2sin70o f) F = − 2sin10o sin10o cos10o tan80o cot10o g) G = − cot25o + cot75o tan25o + tan75o h) H = tan90 − tan270 − tan630 + tan810 1 1 3 ĐS: A = B = 2( 6 − 3) C= D= 2 64 4 E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau: π 7π 13π 19π 25π 1 a) sin sin sin sin sin ĐS: 30 30 30 30 30 32 b) 16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90o o o o o ĐS: 1 1 c) cos24o + cos48o − cos84o − cos12o ĐS: 2 2π 4π 6π 1 d) cos + cos + cos ĐS: − 7 7 7 2 π 2π 3π 1 e) cos − cos + cos ĐS: 7 7 7 2 π 5π 7π f) cos + cos + cos ĐS: 0 9 9 9 2π 4π 6π 8π g) cos + cos + cos + cos ĐS: –1 5 5 5 5 π 3π 5π 7π 9π 1 h) cos + cos + cos + cos + cos ĐS: 11 11 11 11 11 2 Bài 7. Chứng minh rằng: a) tan9o − tan27o − tan63o + tan81o = 4 b) tan20o − tan40o + tan80o = 3 3 c) tan10o − tan50o + tan60o + tan70o = 2 3 d) tan30o + tan40o + tan50o + tan60o = 8 3 .cos20o 3 e) tan20 + tan40 + tan80 + tan60 = 8sin40o o o o o f) tan6 20o − 33tan4 20o + 27tan2 20o − 3 = 0 Bài 8. Tính các tổng sau: Trang 70
5. Trần Sĩ Tùng Lượng giác a) S1 = cosα + cos3α + cos5α + ... + cos(2n − 1)α (α kπ ) π 2π 3π (n − 1)π b) S2 = sin + sin + sin + ... + sin . n n n n π 3π 5π (2n − 1)π c) S3 = cos + cos + cos + ... cos . n n n n 1 1 1 π d) S4 = + + ... + i a = . , v�� cosa.cos2a cos2a.cos3a cos4a.cos5a 5 � 1 � � 1 � � 1 � � 1 � e) S5 = �1+ ��1+ �1+ � �... � 1+ � � cos x � � cos2x � � cos3x � � cos2n −1x � sin2nα π π ĐS: S1 = ; S2 = cot ; S3 = − cos ; 2sinα 2n n n −1 tan2 x tan5a − tana S5 = S4 = = 1− 5 ; x sina tan 2 Bài 9. 1 a) Chứng minh rằng: sin3 x = (3sin x − sin3x ) (1) 4 a a a a b) Thay x = n vao nh Sn = sin3 + 3sin3 + ... + 3n−1 sin3 . �(1), t� 3 3 32 3n 1 �n a � ĐS: Sn = �3 sin − sina � . 4� 3n � Bài 10. sin2a a) Chứng minh rằng: cosa = . 2sina sin x x x x Pn = . b) Tính Pn = cos cos 2 ... cos n . ĐS: n x 2 2 2 2 sin 2n Bài 11. 1 x a) Chứng minh rằng: = cot − cot x . sin x 2 1 1 1 α b) Tính S = + + ...+ (2n−1α kπ ) ĐS: S = cot − cot2n−1α sinα sin2α n sin2 α−1 2 Bài 12. a) Chứng minh rằng: tan2 x.tan2x = tan2x − 2tan x . a a a a a b) Tính Sn = tan2 .tana + 2tan2 2 .tan + ...+ 2n−1 tan2 n .tan n −1 2 2 2 2 2 a ĐS: Sn = tana − 2n tan 2n 1 1 1 1 8 Bài 13. Tính sin2 2x , biết: + + + =7 ĐS: 2 2 2 2 9 tan x cot x sin x cos x Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a) cot x − tan x − 2tan2x = 4cot4x b) 1− 2sin 2x = 1+ tan2x 1− sin4x 1− tan2x Trang 71
6. Lượng giác Trần Sĩ Tùng 1 3tan2 x 1 sin2x − cos2x c) − tan6 x = +1 d) tan4x − = 6 cos x 2 cos x cos4x sin2x + cos2x e) tan6x − tan4x − tan2x = tan2x.tan4x.tan6x sin7x f) = 1+ 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x sin x g) cos5x.cos3x + sin7x.sin x = cos2x.cos4x Bài 15. 2tan(a + b) a) Cho sin(2a + b) = 5sinb . Chứng minh: =3 tana b) Cho tan(a + b) = 3tana . Chứng minh: sin(2a + 2b) + sin2a = 2sin2b Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh: A B C a) sin A + sin B + sinC = 4cos cos cos 2 2 2 A B C b) cos A + cosB + cosC = 1+ 4sin sin sin 2 2 2 c) sin2 A + sin2 B + sin2C = 4sin A.sin B.sinC d) cos2A + cos2B + cos2C = − 1− 4cos A.cosB.cosC e) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1− 2cos A.cosB.cosC f) sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2cos A.cosB.cosC Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết: π 1 π π π a) B − C = va�sin B.sinC = . ĐS: B = , C = , A = 3 2 2 6 3 π 5π π b) B + C = 2π va� 1+ 3 sin B.cosC = . ĐS: A = , B = ,C= 3 4 3 12 4 Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông: a) cos2A + cos2B + cos2C = −1 b) tan2A + tan2B + tan2C = 0 b c a B a+c c) + = d) cot = cosB cosC sin B.sinC 2 b Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân: A+B a) a tan A + b tan B = (a + b)tan b) 2tan B + tanC = tan2 B.tanC 2 sin A + sin B 1 C 2sin A.sin B c) = (tan A + tan B) d) cot = cos A + cosB 2 2 sinC Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều: 3 3 π a) sin A + sin B + sinC HD: Cộng sin vào VT. 2 3 3 π b) cos A + cosB + cosC HD: Cộng cos vào VT. 2 3 c) tan A + tan B + tanC 3 3 (với A, B, C nhọn) 1 1 d) cos A.cosB.cosC HD: Biến đổi cos A.cosB.cosC − về dạng hằng đẳng 8 8 thức. Bài 21. a) Trang 72
7. Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 73