Xét tính đơn điệu của hàm số y=x+4/x

#1

leminhansp

$\text{Hâm hấp}$

• Điều hành viên
• 606 Bài viết

• Giới tính:Nam
• Đến từ:Nam Định

Đã gửi 10-09-2012 - 10:57

Trong đề thi các em gặp vấn đề này ở các bài toán chẳng hạn như:

Bài toán: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}+\left[ 2m-3 \right]x-5$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên trên $\left[ 2,3 \right]$.

Để làm được bài toán này cần hiểu được:
- Đồng biến là gì?
- Để làm bài toán này cần thực hiện công việc gì?

A – Lý thuyết
1. Định nghĩa:
Kí hiệu: $K$ là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng và hàm số $\left[ C\right]: y= f \left[ x \right]$ xác định trên $K$.
Hàm số $y=f \left[ x \right]$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $x$ tăng thì $y$ tăng mà $x$ giảm thì $y$ giảm, tức là:

$$\forall x_1,x_2 \in K : x_10,\forall x\in D$ hoặc $y'0\\ \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1 \end{array} \right.$ Và đến đây một phản xạ tự nhiên là ta sẽ nghĩ đến định lí Viet! Bài toán được giải quyết.
LG:
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=g\left[ x \right]=3{{x}^{2}}+6x+m,$ $\Delta '=9-3m$
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì $y'\le 0$ trên một đoạn có độ dài bằng 1
Nếu $\Delta '\le 0$ thì $g\left[ x \right]\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}=\left[ -\infty ;+\infty \right]$ [không thỏa mãn]
Nếu $\Delta '>0\Leftrightarrow m0\Leftrightarrow $$m\in \left[ \frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{2+\sqrt{2}}{2} \right]$ [1]
Thì $f\left[ x \right]$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}0\Leftrightarrow m0\Leftrightarrow $$m\in \left[ \frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{2+\sqrt{2}}{2} \right]$
Thì $f\left[ x \right]$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}0,\forall x\ne a$ thì ta kết luận: hàm số đồng biến trên $\left[ -\infty ;a \right]$ và $\left[ a;+\infty \right]$

Ví dụ 2: Cho hàm số: $y=\frac{mx+4}{x+m}$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên $\left[ -1;1 \right]$.
Phân tích:
- Nhận dạng, thuộc dạng xét tính đơn điệu, như vậy cần tính y’ và xét dấu y’
- Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm của nó có dấu không phụ thuộc vào x, tức là $y'>0,\forall x\in D$ hoặc $y' 0\\
\Delta' \leq 0
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow
m \geq 2$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow m \geq 2$
________________
P/s: Lần đầu làm dạng này !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 15-09-2012 - 21:58

#16

leminhansp

leminhansp

$\text{Hâm hấp}$

• Điều hành viên
• 606 Bài viết

• Giới tính:Nam
• Đến từ:Nam Định

Đã gửi 15-09-2012 - 22:27

Mọi người cho em hỏi sao ở VD2 sao lại có "- Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left[ -\infty ;-m \right]$ và $\left[ -m;+\infty \right]$" và sao phải xét $-m\notin [-1,1]$ mà không phải là m

Em xem lại một chút lí thuyết nhé
Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left[ -\infty ;-m \right]$ và $\left[ -m;+\infty \right]$: vì $y' \le 0$ với mọi $x$ khác $-m$
sao phải xét $-m\notin [-1,1]$ mà không phải là m: Bởi vì chú ý răng hàm số không xác định tại $-m$ [Chứ không phải $m$] nên nếu $-m$ thuộc $[-1;1]$ thì không thỏa đk hàm nghịch biến trên $[-1;1]$ [muốn nghịch biến trước hết phải xác định trên đó đã]

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com

#17

nthoangcute

nthoangcute

Thiếu tá

• Thành viên
• 2003 Bài viết

• Giới tính:Nam
• Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 15-09-2012 - 23:07

Bài 2: Cho hàm số: $y=\frac{mx+5m-6}{x+m}$.
a. Tìm m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -2;-1 \right]$
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên hai khoảng $\left[ -\infty ;-4 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$

TXĐ: $D=\mathbb{R} /\{-m\}$
Xét hàm số $y=\frac{mx+5m-6}{x+m}$
Ta có $y'=\dfrac{[m-2][m-3]}{[x+m]^2}$
a] Hàm số luôn nghịch biến trên $D$
$\Leftrightarrow y'