Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 2 m+1 z + m^2=0
|
Lời giải của GV Vungoi.vn Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*). TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 8\\{z_0} = - 8\end{array} \right.\). + Nếu \({z_0} = 8\) thay vào (*) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {8^2} - 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 16m + 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m= 12\\m= 4\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn. + Nếu \({z_0} = - 8\) thay vào (*) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 64 + 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 16m + 80 = 0\end{array}\) \( \Rightarrow \) Vô nghiệm. TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \)\(\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \)\(\Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\). Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \). Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = {8^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {8^2} \)\(\Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 64\,\,\left( 1 \right)\). Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 64 \Leftrightarrow m = \pm 8\). So sánh điều kiện \(m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 8\). Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 12 \), \(m = 4 \) và \(m = - 8\)).
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${z^2-2(m+1) z+m^2=0}$ ( ${m}$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của ${m}$ để phương trình đó có nghiệm ${z_0}$ thỏa mãn ${\left|z_0\right|=7 ?}$
2 .
3 .
1 .
4 .
Phương trình ${z^2-2(m+1) z+m^2=0}$.
Ta có ${\Delta\prime =(m+1)^2-m^2=2 m+1}$
Trường hợp 1: Nếu ${2 m+1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình có nghiệm thực nên
${\left|z_0\right|=7 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_0=7 \\ z_0=-7\end{array}\right.}$
Với ${z_0=7}$ thay vào phương trình ta được ${7^2-2(m+1) .7+m^2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=7+\sqrt{14} \\ m=7-\sqrt{14}\end{array}\right.}$
(thoả ${m \geq-\dfrac{1}{2}}$ ). Với ${z_0=-7}$ thay vào phương trình ta được ${7^2+2(m+1) .7+m^2=0 \Leftrightarrow m^2+14 m+63=0}$ phương trình vô nghiệm.
Trường hợp ${1:}$ Nếu ${\quad 2 m+1<0 \Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình có hai nghiệm phức là
${\left[\begin{array}{l}z=m+1+i \sqrt{-2 m-1} \\ z=m+1-i \sqrt{-2 m-1}\end{array}\right.}$
Khi đó ${\left|z_0\right|=7 \Leftrightarrow(m+1)^2-2 m-1=49 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=7 \\ m=-7\end{array}\right.}$.
Kết hợp với ${m<-\dfrac{1}{2}}$ ta được ${m=-7}$.
Vậy có 3 giá trị ${m}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH1: Với y = 0 => (1) <=> x2 = 25 <=> \(x = \pm 5\) Nếu x = 5 => (2) <=> m2 - 10m + 15 = 0 <=> \(m = 5 \pm \sqrt {10} \) Nếu x = -5 => (2) <=> m2 + 10m + 35 = 0 (vô nghiệm) TH2: x = m + 1=>(1) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {y^2} = 25 - {(m + 1)^2}( - 6 \le m \le 4)\\ (2) \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 25 + {(m + 1)^2} - 2m(m + 1) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 5\\ m = 5(loai) \end{array} \right. \end{array}\) Vậy có 3 giá trị tham số m thỏa mãn Chọn C
Mã câu hỏi: 284603 Loại bài: Bài tập Chủ đề : Môn học: Toán Học Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài CÂU HỎI KHÁC
|
