Cryto Giá

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại x = 3

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng K và x0 ∈ K.

Hàm số y = f[x] được gọi là liên tục tại x0 nếu limx→x0fx=fx0.

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số fx=2xx−1 tại x0 = 2.

Giải

Hàm số đã cho xác định trên ℝ\1.

Do đó hàm số xác định trên khoảng 1;+∞ chứa x0 = 2. Khi đó ta có:

limx→2fx=limx→22xx−1=41=4=f2.

Vậy hàm số y = f[x] liên tục tại x0 = 2.

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2

Hàm số y = f[x] được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f[x] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng [a; b] và

limx→a+fx=fa,limx→b−fx=fb.

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng [a;b]

Hàm số không liên tục trên khoảng [a; b].

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

a] Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ.

b] Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử y = f[x] và y = g[x] là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a] Các hàm số y = f[x] + g[x], y = f[x] – g[x] và y = f[x].g[x] liên tục tại x0;

b] Hàm số fxgx liên tục tại x0 nếu g[x0] ≠ 0.

Ví dụ 2. Cho hàm số y=f[x]=x2−2x−3x−3 khi x≠34 khi x = 3 trên tập xác định của nó.

Giải

Tập xác định D=ℝ

- Nếu x = 3, ta có f[3] = 4,

limx→3x2−2x−3x−3=limx→3x−3x+1x−3=limx→3x+1=4=f3

Do đó f[x] liên tục tại x = 3.

- Nếu x≠3 thì fx=x2−2x−3x−3 là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng −∞;3,3;+∞.

Vậy hàm số y = f[x] liên tục trên ℝ.

Định lí 3

Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a;b] và f[a].f[b] < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ [a; b] sao cho f[c] = 0.

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a; b] và f[a].f[b] < 0, thì phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng [a, b].

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm.

Giải

Xét hàm f[x] = x5 – 3x – 7

Ta có: f[0] = - 7, f[2] = 19. Do đó f[0].f[2] = [-7].19 < 0.

Vì hàm số f[x] là hàm đa thức nên liên tục trên . Do đó hàm số f[x] liên tục trên [0;2]. Từ đó suy ra phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm x0∈0;2.

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Đã gửi 14-01-2012 - 10:03

Phổ biến

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m

ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG

BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẬP BẢNG BIẾN THIÊN

Các bạn thân mến!
Dạng toán tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f[x]$ đồng biến [nghịch biến] trên 1 khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học.

Dạng này có 3 cách làm chủ yếu: Phương pháp cô lập tham số m, kĩ thuật parabol và phương pháp dùng bảng biến thiên.

Bài viết này chỉ nói đến phương pháp dùng bảng biến thiên. Đây là phương pháp khá phức tạp, dài dòng, song lại có thể giải quyết được tất cả các trường hợp.

I - Nhắc lại lý thuyết

1] Cho hàm số $y = f[x]$ xác định trên khoảng $K$; $\forall x_1 ,x_2 \in K;x_1 < x_2$ Khi đó:

$f[x]$ đồng biến trên $K$ $\Leftrightarrow f[x_1 ] < f[x_2 ]$

$f[x]$ nghịch biến biến trên $K$ $ \Leftrightarrow f[x_1 ] > f[x_2 ]$

2] Mối liên hệ giữa tính chất đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm:

$f ’[x] \geq 0, \forall x \in K$ thì $f[x]$ đồng biến trên $K$

$f ’[x] \leq 0, \forall x \in K$ thì $f[x]$ nghịch biến trên $K$

[Dấu “ =” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm].

II - Ví dụ:

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f[x] = 2x^3 + 3x^2 + 6mx – 1$ nghịch biến trên $[0;2]$.

Giải

TXĐ: $\mathbb{R}$ Ta có $f ’[x] = 6x^2 + 6x + 6m = 6[x^2+ x + m].$ $\Delta = 1 – 4m$. *] Với $m \geq \frac{1}{4}$ ta có $\Delta \leq 0$ nên $f ’[x] \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số luôn đồng biến. Yêu cầu của bài toán không được thỏa mãn.

*] Với $m < \frac{1}{4}$ ta có $\Delta > 0$ nên phương trình $f’[x] = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2 [x_1< x_2]$. Bảng biến thiên của hàm số $f[x]$

Từ bảng biến thiên, điều kiện cần và đủ để hàm số $f[x]$ nghịch biến trên $[0;2]$ là: $$x_1 \leq 0 < 2 \leq x_2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1x_2 \le 0 \\ [x_1-2][x_2-2] \le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \le 0 \\ m \le - 6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m \leq -6$$ Kết luận: hàm số $f[x]$ nghịch biến trên $[0;2]$ khi và chỉ khi $m \leq - 6.$

Từ ví dụ 1, ta có lưu ý: đối với dạng toán này, nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu một tam thức bậc 2, phải chia hai trường hợp.

* TH1: $\Delta \leq 0$. Hàm số đã cho hoặc luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến.
* TH2: $\Delta > 0$. Ta lập bảng biến thiên và sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai hoặc định lí Vi-et. Xin đưa thêm một số ví dụ:

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số sau đồng biến trên khoảng $[-\infty;1]$

$f[x] = \dfrac{{x^2 + m[m^2 - 1]x - m^3 - 1}}{{x - 1}}$

Giải

TXĐ: : $\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}$ Ta có: $f ’[x] = \dfrac{{x^2 - 2x + m + 1}}{{[x - 1]^2 }}, \forall x \neq 1$ dấu của $f’[x]$ phụ thuộc dấu của $g[x]= x^2– 2x + m +1$ Ta có: $\Delta ’ = - m$. * Nếu $m \geq 0$ thì $\Delta ' \leq 0 $ nên $g[x] \geq 0, \forall x \Rightarrow f’[x] \geq 0, \forall x \neq 1.$ Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. Do đó cũng đồng biến trên $[- \infty;1]$ * Nếu $m < 0$ thì $\Delta ' > 0$. Khi đó phương trình $f ’[x] = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2 [x_1 < 1 < x_2]$.

Ta có bảng biến thiên của $f[x]$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trong trường hợp này, không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Kết luận: Với $m \geq 0$ thì hàm số $f[x]$ đồng biến trên $[-\infty;1]$.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $f[x] = x^3 – 3mx^2 + 3[2m – 1]x$ đồng biến trên $[2;3]$.

Giải

TXĐ: $\mathbb{R}$ Ta có $f’[x] = 3x^2 – 6mx + 6m – 3$; $f’[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2m - 1 \\ \end{array} \right.$ * Nếu $m = 1$ thì $f’[x] \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó hàm số cũng đồng biến trên $[2;3]$.

* Nếu $m > 1$ thì ta có bảng biến thiên của $f[x]$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trong trường hợp này, điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến trên $[2;3]$ là:

$$1< 2m – 1 \leq 2 \Leftrightarrow 1 < m \leq \frac{3}{2}$$

* Nếu $m < 1$ thì ta có bảng biến thiên của $f[x]$

Dễ thấy hàm số hiển nhiên đồng biến trên $[2;3]$

Kết luận: Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng biến trên $[2;3]$ là:

$$m \leq \frac{3}{2}$$

III – Bài tập: Mời các bạn làm thêm một số bài tập: 1] Bài tập 5 tr.8 [SGK GT 12NC], bài tập 8 tr. 44 [SGK GT 12CB], bài 1.81 tr.27 [SBT GT 12NC] 2] Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 + [m – 1]x^2 – [2m^2 + 3m + 2]x$ đồng biến trên $[2;+\infty]$. 3] Tìm $m$ để hàm số $y = [m + 1]x^3 + mx^2 – x$ đồng biến trên $[-\infty;-1]$. 4] Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{{x^2 + x + 1}}{{x - m}}$ đồng biến trên $[2;+\infty]$.

5] [ĐH Hàng Hải 2000-2001] Tìm $m$ để hàm số $y = - \frac{1}{3}x^3 + [m – 1]x^2– [m – 3]x – 4$ đồng biến trên $[0;3].$

terenceTAO, Nguyễn Hoàng Lâm, Minhnguyenquang75 và 31 người khác yêu thích

Đã gửi 19-02-2012 - 07:37

thầy cho em hỏi dạng toán này có giống với dạng toán tìm điều kiện để tam thức bậc 2 không đổi dấu trên một miền xác định không hả thầy? thầy có thể gửi cho em tài liệu về phương pháp tìm điều kiện để tam thức bậc 2 không đổi dấu trên một miền được không ạ? em mong sớm nhận được sự trả lời của thầy

Đã gửi 19-02-2012 - 12:41

Dạng toán này có liên hệ mật thiết với các dạng toán tìm điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên một khoảng xác định.
Rất tiếc, mình không có file tài liệu nào về vấn đề này. Bạn có thể tìm đọc cuốn Tam thức bậc hai và ứng dụng của Nguyễn Thái HòeChúc bạn giỏi toán. Rất vui khi được trao đổi cùng bạn

Oral1020, thang1308 và mr dong thích

Đã gửi 09-06-2012 - 07:33

Ở ví dụ 3 , m phải > 1/2 mới đúng chứ ! Vì nếu m>1 thì 2m -1 không < 1

Đã gửi 09-06-2012 - 18:32

$m>1$ thì $2m-1>1$ là đúng mà bạn

Đã gửi 15-06-2012 - 22:53

Để giải các bài tập dạng tìm ĐK của tham số $m$ để hàm số $f[x]$ ĐB hoặc NB trên tập $D$ nào đó [$D$ ở đây là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng] ta có thể dựa vào kết quả sau: Cho hàm số $y=f[x]$ liên tục trên miền $D$ và đạt GTLN, GTNN trên $D$ tương ứng là $\max_Df[x],\min_Df[x]$. Khi đó 1] $f[x]\geq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \min_Df[x]\geq m$ 2] $f[x]\leq m$ với mọi $x\in D\Leftrightarrow \max_Df[x]\leq m$ Áp dụng vào các bài toán trên, thông thường ta hay biến đổi cô lập $m$ về một vế, chẳng hạn trong Ví dụ 1 ở trên, $f[x]$ nghịch biến trên $[0;2]\Leftrightarrow f'[x]\leq 0$ với mọi $x\in [0;2]$ Tương đương với $x^2+x\leq -m$ với mọi $x\in [0;2]\Leftrightarrow \max_{[0;2]}[x^2+x]\leq -m\Leftrightarrow 6\leq -m\Leftrightarrow m\leq -6$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kvthanh: 15-06-2012 - 22:55

E. Galois, caybutbixanh, chaudat95 và 1 người khác yêu thích

Đã gửi 05-08-2012 - 09:24

cho em hỏi tại sao x1

Đã gửi 09-03-2013 - 16:04

cho mình hỏi, có bài toán nào có dạng: Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn luôn đồng biến [nghịch biến] hoặc hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.........hay không>

Cách làm dạng toán đó cũng không khác gì cách làm các ví dụ nêu trên. Nếu bạn cần chỉ dẫn thêm, hãy nêu thêm một ví dụ

Đã gửi 29-05-2013 - 15:55

Tìm m để hàm số y =x3 + 3x2 - mx - 4 đồng biến trên [-vô cùng ; 0]

Tìm m để hàm số y =x3 + 3x2 - mx - 4 đồng biến trên [-vô cùng ; 0]

Chào em!Ý em là em đang giải bài toán trên và có thắc mắc gì chăng?Thầy cho em hỏi cách giải này có đúng không :

y'=3x2 +6x - m

Hàm số đồng biến trên [-vôcùng;0] y'>=0 với mọi x thuộc [-vôcùng;0] 3x2 +6x - m>=0 với mọi x thuộc [-vôcùng;0]
f[x]= 3x2 +6x >= m với mọi x thuộc [-vôcùng;0]f[x]'= 6x+6 f[x]'=0 x=-1Vẽ BBT thấy min f[x] = -3 Min f[x] >=m -3>=m Vầy hàm số đồng biến trên [-vôcùng;0] khi và chỉ khi m=

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề