BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Giải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức Newton, trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau:
--------
I/ Công thức Tổ hợp, nhị thức Newton.
* Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên ta có các công thức sau:
1] Công thức hoán vị: ${P_n} = n\,! = n[n - 1][n - 2].......3.2.1.$ [ n giai thừa, n > 1].
2] Công thức chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{{n!}}{{[n - k]!}}\,\,\,\,\,\,[1 \leqslant k \leqslant n]$
3] Công thức Tổ hợp: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k![n - k]!}}\,\,\,\,\,[0 \leqslant k \leqslant n]$
* Một số tính chất của số Tổ hợp: $C_n^k + C_n^{k - 1} = C_{n + 1}^k\,,\,\,\,C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^{n - k}$
*Khai triển nhị thức Newton:
$P[x] = {\left[ {a + b} \right]^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ..... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ..... + C_n^n{a^0}{b^n}.$
+ $P[x] = {\left[ {a + b} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^{n - k}}.{b^k}} $ [I]
+ Có n + 1 số hạng trong khai triển.
+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức.
4] Các công thức biến đổi với số mũ.
$1]\,{\left[ {{a^n}} \right]^m} = {a^{n.m}},\,\,\,\,\,2]\,\,\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}},\,\,\,\,\,\,3]\,{a^n}.{a^m} = {a^{n + m}},\,\,\,\,\,\,\,\,4]\,\,{\left[ {\frac{1}{a}} \right]^n} = {a^{ - n}},\,\,\,\,5]\,\,\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}.$
II/ Phương trình Tổ hợp.
Là phương trình [PT] có ẩn số nằm trong các công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị.
- Ví dụ 1: Giải phương trình : $C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \frac{7}{2}x$ [1]Giải
Điều kiện: $x \in {\rm N};\,\,x \geqslant 3$. Sử dụng công thức tổ hợp, ta có:
$\begin{gathered}
\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \,\,\,\frac{{x!}}{{1!\left[ {x - 1} \right]!}}\, + \,\,\frac{{x!}}{{2!\left[ {x - 2} \right]!}} + \frac{{x!}}{{3!\left[ {x - 3} \right]!}} = \frac{7}{2}x \\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]...2.1}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]...2.1}} + \frac{{x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]...2.1}}{{2.1.\left[ {x - 2} \right]...2.1}} + \frac{{x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]...2.1}}{{3.2.1\left[ {x - 3} \right]...2.1}} = \frac{7}{2}x \\
\end{gathered}$
$ \Leftrightarrow \,x\, + \,\frac{{x[x - 1]}}{2} + \frac{{x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]}}{6} = \frac{7}{2}x$
$\begin{gathered}
\Leftrightarrow 6x + 3x\left[ {x - 1} \right] + x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right] = 21x \\
\Leftrightarrow \,{x^3} - 16x = 0\,\, \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 16} \right] = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0\,\,\,[loai] \\
x = - 4\,\,[loai]\,\, \\
x = 4\,\,[nhan] \\
\end{gathered} \right. \\
\end{gathered} $
Vậy PT đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 4.
-Ví dụ 2: Giải phương trình:
$C_{x - 1}^3 - C_{x - 1}^2 = \frac{2}{3}.A_{x - 2}^2$ [2]Giải
Đk: $x \geqslant 4,\,\,n \in {\rm N}$. Sử dụng công thức tổ hợp và chỉnh hợp, ta có:
$\begin{gathered}
[2] \Leftrightarrow \frac{{\left[ {x - 1} \right]!}}{{3!\left[ {x - 4} \right]!}} - \frac{{\left[ {x - 1} \right]!}}{{2!\left[ {x - 3} \right]!}} = \frac{2}{3}.\frac{{\left[ {x - 2} \right]!}}{{\left[ {x - 4} \right]!}} \\
\Leftrightarrow \frac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}}{6} - \frac{{\left[ {x - 1} \right]}}{2} = \frac{2}{3}.\left[ {x - 3} \right] \\
\Leftrightarrow {x^2} - 11x + 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 9\,[nhan] \\
x = 2\,[loai] \\
\end{gathered} \right. \\
\end{gathered} $
Vậy PT [2] chỉ có duy nhất một nghiệm x = 9.
-Ví dụ 3: Giải phương trình: $A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\,\,\,$ [3]Giải
Đk :$x \geqslant 3,\,x \in {\rm N}$.
Sử dụng các công thức Tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị, ta có:
[3] $\Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left[ {x - 3} \right]!}} + \frac{{2\left[ {x + 1} \right]!}}{{2!\left[ {x - 1} \right]!}} - \frac{{3\left[ {x - 1} \right]!}}{{2!\left[ {x - 3} \right]!}} = 3{x^2} + 6!\, + 159$
$\begin{gathered}
\Leftrightarrow \,x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right] + x\left[ {x + 1} \right] - \frac{3}{2}\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right] = 3{x^2} + 879 \\
\Leftrightarrow \,2{x^3} - 13{x^2} + 15x - 1764 = 0 \\
\end{gathered} $
Đến đây bằng cách nhập PT này vào máy tính ta tìm được một nghiệm x = 12 .Sử dụng sơ đồ Horner tách PT trên ta được:$\left[ {x - 12} \right]\underbrace {\left[ {2{x^2} + 11x + 147} \right]}_{vo\,\,nghiem} = 0\,\, \Leftrightarrow x = 12\,\,[n]$
Vậy PT [3] chỉ có duy nhất một nghiệm x = 12.
- Ví dụ 4:Giải phương trình:
$C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$. [4]Giải
Đk: $n \geqslant 9,n \in {\rm N}$. Sử dụng tính chất số Tổ hợp:
$C_n^k + C_n^{k - 1} = C_{n + 1}^k$. Ta có:
$\begin{gathered}
C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = C_n^6 + C_n^7 + 2\left[ {C_n^7 + C_n^8} \right] + C_n^8 + C_n^9 \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = C_{n + 3}^9 \\
\end{gathered} $ Vậy, theo giả thiết tương đương với:
$\begin{gathered}
C_{n + 3}^9 = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow \,\frac{{\left[ {n + 3} \right]!}}{{9!\left[ {n - 6} \right]!}} = \frac{{2\left[ {n + 2} \right]!}}{{8!\left[ {n - 6} \right]!}} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{n + 3}}{9} = 2\,\, \Leftrightarrow n = 15 \\
\end{gathered} $
PT [4] đã cho có duy nhất một nghiệm n = 15.
*Lưu ý: Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau:
+ Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với số tổ hợp thì $0 \leqslant k \leqslant n$, ví dụ:$C_{n + 3}^8$ thì đk của n là: $n + 3 \geqslant 8 \Leftrightarrow n \geqslant 5$
+Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp chứa ẩn thì phải chọn đk cho ẩn tổng quát và bao hàm nhất, ví dụ:
$C_{n + 1}^9 + C_{n + 2}^7$ thì đk là:
$\left\{ \begin{gathered}
n + 1 \geqslant 9 \Leftrightarrow n \geqslant 8 \\
n + 2 \geqslant 7 \Leftrightarrow n \geqslant 5 \\
\end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow n \geqslant 8$
+ Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, hoặc tính chất số tổ hợp [nếu được] để biến đổi, rút gọn và giải PT.
+ Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài toán để kết luận.
III/ Nhị thức Newton
Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này là : Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa thức, ta xét cụ thể các ví dụ sau:
-Ví dụ 1: Khai triển: ${\left[ {x - y} \right]^5}$ thành tổng các đơn thức.Giải
Theo công thức Nhị thức Newton ta có:
$\begin{gathered}
{\left[ {x - y} \right]^5} = {\left[ {x + \left[ { - y} \right]} \right]^5} = C_5^0{x^5}{\left[ { - y} \right]^0} + C_5^1{x^4}\left[ { - y} \right] + C_5^2{x^3}{\left[ { - y} \right]^2}\, + \\
+ C_5^3{x^2}{\left[ { - y} \right]^3} + C_5^4x{\left[ { - y} \right]^4} + C_5^5{x^0}{\left[ { - y} \right]^5}. \\
\end{gathered} $ $= {x^5} - 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} - {y^5}$
- Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: $A\left[ x \right] = {\left[ {2x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right]^6},[x \ne 0]$Giải
Với $a = 2x\,\,;b = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}};\,\,n = 6$, Từ [I] ta có:
$\begin{gathered}
A\left[ x \right] = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k.{{\left[ {2x} \right]}^{6 - k}}.{{\left[ {\frac{{ - 1}}{{{x^2}}}} \right]}^k}} \\
= \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{{.2}^{6 - k}}.{{[ - 1]}^k}.{x^{6 - k}}.{x^{ - 2k}}} \,\, = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{{.2}^{6 - k}}.{{\left[ { - 1} \right]}^k}.{x^{6 - 3k}}} \\
\end{gathered} $
Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao cho: $6 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 2$
Vậy số hạng cần tìm là $C_6^2{.2^{6 - 2}}.{[ - 1]^2} = 240$
- Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển $B\left[ x \right] = {\left[ {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right]^{12}},[x \ne 0,\,\,n \in {\rm N}]$Giải
Ta có: $a = \frac{1}{{{x^3}}} = {x^{ - 3}}\,;\,b = \sqrt {{x^5}} = {x^{\frac{5}{2}}},\,\,\,n = 12$
Từ [I] ta có:
$B\,\left[ x \right] = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{{\left[ {{x^{ - 3}}} \right]}^{12 - k}}.{{\left[ {{x^{\frac{5}{2}}}} \right]}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{x^{\frac{{ - 72 + 11k}}{2}}}} $
Tìm k sao cho $\frac{{ - 72 + 11k}}{2} = 8 \Leftrightarrow k = 8$
Vậy số hạng cần tìm là: $C_{12}^4 = 495$
- Ví dụ 4: Xét khai triển $C\left[ x \right] = {\left[ {{x^3} + xy} \right]^{15}}$
Tìm hệ số chứa ${x^{21}}{y^{12}}$.Giải
Ta có $a = {x^3},\,\,\,b = xy,\,\,\,\,n = 15$
Từ [I] ta có: $\,C\left[ x \right] = {\sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{{\left[ {{x^3}} \right]}^{15 - k}}.\left[ {xy} \right]} ^k} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 2k}}.{y^k}} $
Đến đây, ta thấy số mũ của y là k, theo đề bài số mũ của y là 12, suy ra k = 12.
Vậy hệ số chứa ${x^{21}}{y^{12}}$ là $C_{15}^{12} = 455$.
- Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển $D\left[ x \right] = {\left[ {{x^2} - \frac{2}{x}} \right]^n}\,,\,\left[ {x \ne 0,\,n \in {\rm N}} \right]$ biết n thỏa mãn hệ thức sau:
$4C_{n + 1}^3 + 2C_n^2 = A_n^3$Giải
Đk: $n \geqslant 3;\,\,n \in {\rm N}.$
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương :
$\begin{gathered}
4.\frac{{\left[ {n + 1} \right]!}}{{3!\left[ {n - 2} \right]!}} + 2.\frac{{n!}}{{2!\left[ {n - 2} \right]!}} = \frac{{n!}}{{\left[ {n - 3} \right]!}} \\
\Leftrightarrow \frac{4}{6}.\left[ {n + 1} \right] + 1 = n - 2 \Leftrightarrow 2n = 22 \Leftrightarrow n = 11\,[nhan] \\
\end{gathered}$
Từ [I] ta có $\,D\left[ x \right] = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{{\left[ {{x^2}} \right]}^{11 - k}}.{{\left[ { - 2{x^{ - 1}}} \right]}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k} .{\left[ { - 2} \right]^k}.{x^{22 - 3k}}$
Tìm k sao cho: $22 - 3k = 7 \Leftrightarrow k = 5$
Vậy số hạng cần tìm là: $C_{11}^5.{\left[ { - 2} \right]^5} = - 14784$.
- Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển $E\left[ x \right] = {\left[ {\sqrt[3]{x} + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right]^n}$, biết rằng n thỏa mãn hệ thức: $C_{n + 3}^9 = 2C_{n + 2}^8,\,\left[ {x\, > 0,n \in {\rm N}} \right].$Giải
Đk: $n \ge 6;\,\,n \in {\rm N}$
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương:
$\begin{array}{l}
\frac{{\left[ {n + 3} \right]!}}{{9!\left[ {n - 6} \right]!}} = 2.\frac{{\left[ {n + 2} \right]!}}{{8!\left[ {n - 6} \right]!}} \Leftrightarrow \frac{{\left[ {n + 3} \right]!}}{{9!}} = 2.\frac{{\left[ {n + 2} \right]!}}{{8!}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{n + 3}}{{9!}} = \frac{2}{{8!}} \Leftrightarrow n = 15
\end{array}$
Ta có: $a = \,\sqrt[3]{x}\, = {x^{\frac{1}{3}}},\,\,\,b = \frac{2}{{\sqrt x }} = 2.{x^{\frac{{ - 1}}{2}}},\,\,\,n = 15$
Từ [I] ta có:
$E\left[ x \right] = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left[ {{x^{\frac{1}{3}}}} \right]}^{15 - k}}.{{\left[ {2.{x^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right]}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{\frac{{30 - 5k}}{6}}}{{.2}^k}} $ Ta tìm k sao cho $\frac{{30 - 5k}}{6} = 0 \Leftrightarrow k = 6$
Vậy số hạng cần tìm là: $C_{15}^6{.2^6} = 320320$
- Ví dụ 7: Tìm số hạng chứa ${x^{12}}$trong khai triển nhị thức Newton $F\left[ x \right] = {\left[ {\frac{x}{2} + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right]^n};\,[x > 0,\,n \in {\rm N}]\,$
biết rằng n thỏa mãn hệ thức sau: $C_n^1 + 2.\frac{{C_n^2}}{{C_n^1}} + 3.\frac{{C_n^3}}{{C_n^2}} + ..... + n.\frac{{C_n^n}}{{C_n^{n - 1}}} = 2016$ [*]Giải
Vế trái [*] $ \Leftrightarrow \,n + n - 1 + n - 2 + ..... + 1$ là tổng của một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai lần lượt là: ${u_1} = n\,,\,\,\,d = - 1$
*Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng ${S_n} = \frac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}d + n{u_1}$
$\begin{array}{l}
[*] \Leftrightarrow \frac{{n[n - 1][ - 1]}}{2} + {n^2} = 2016\\
\Leftrightarrow {n^2} + n - 4032 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 63\,\,\,[n]\\
n = - 64\,\,[l]
\end{array} \right.
\end{array}$
với $a = \frac{x}{2},\,\,\,b = \frac{1}{{\sqrt x }},\,\,\,n = 63$. Từ [I] ta có:
$F\left[ x \right] = \sum\limits_{k = 0}^{63} {C_{63}^k.{{\left[ {\frac{x}{2}} \right]}^{63 - k}}.{{\left[ {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right]}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{63} {C_{63}^k.{{\left[ {\frac{1}{2}} \right]}^{63 - k}}.{x^{\frac{{126 - 3k}}{2}}}} $
Tìm k sao cho $\frac{{126 - 3k}}{2} = 12 \Leftrightarrow k = 34\,\,[n]$
Số hạng cần tìm là: $C_{63}^{34}.{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^{63 - 34}} = 14141697626$
Ví dụ 8: Khi khai triển nhị thức Newton ${\left[ {1 + ax} \right]^n}$ ta được số hạng thứ hai là $24x$; số hạng thứ ba là $252{x^2}$. Hãy tìm a và n.Giải
Ta có: $a = 1,\,\,\,b = ax$. Từ [I] ta có:
$\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{\left[ {ax} \right]}^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^k}.{x^k}} } $
*Theo đề bài số hạng thứ hai là 24x nên:
$C_n^k.{a^k}.{x^k} = 24x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = 1\\
C_n^1.a = 24\,\,\,\,[1]
\end{array} \right.$
*Theo đề bài số hạng thứ ba là $252{x^2}$ nên:
$C_n^k.{a^k}.{x^k} = 252{x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = 2\\
C_n^2.{a^2} = 252\,\,\,\,[2]
\end{array} \right.$
*Từ [1][2] ta có hệ phương trình sau:
$\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
C_n^1.a = 24\,\,\,[1]\\
C_n^2.{a^2} = 252\,\,[2]
\end{array} \right.$
[1] $ \Leftrightarrow a = \frac{{24}}{{C_n^1}}$ thay vào [2] ta được:
$\begin{array}{l}
\left[ 2 \right] \Leftrightarrow C_n^2.{\left[ {\frac{{24}}{{C_n^1}}} \right]^2} = 252 \Leftrightarrow \frac{{C_n^2}}{{{{\left[ {C_n^1} \right]}^2}}} = \frac{{252}}{{{{24}^2}}} = \frac{7}{{16}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{C_n^2}}{{{n^2}}} = \frac{7}{{16}} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left[ {n - 2} \right]!}} = \frac{{7{n^2}}}{{16}}\,\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{2} = \frac{{7n}}{{16}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2n = 16 \Leftrightarrow n = 8.
\end{array}$
* Với n = 8 thay vào [1] $a = \frac{{24}}{{C_8^1}} = 3$
Vậy $a = 3,\,\,\,n = 8$.
Ví dụ 9: Khi khai triển ${\left[ {a + x} \right]^6}{\left[ {b + x} \right]^3}$ [*] ta được hệ số chứa ${x^7}$ là -9; không có số hạng chứa ${x^8}$ . Hãy tìm a và b.Giải
*Ta có nhận xét: [*] là tích của hai nhị thức: nhị thức bậc 6 và nhị thức bậc 3. Vậy để tạo ra số hạng ${x^7}$ thì phải tồn tại trong nhị thức bậc 6 các biến ${x^4},\,{x^5},\,{x^6}$ nhân với các biến số tương ứng trong nhị thức bậc 3 là ${x^3},\,{x^2},\,x$.
*Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có:
$\sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k.{a^{6 - k}}.{x^k}} $ số hạng chứa ${x^4},\,{x^5},\,{x^6}$ tương ứng với k lần lượt là 4, 5, 6. $\Rightarrow \,C_6^4.{a^2},\,\,C_6^5.a\,,\,\,C_6^6.{a^0}$
*Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có:
$\sum\limits_{k = 0}^3 {C_3^k.{b^{3 - k}}.{x^k}} $ số hạng chứa ${x^3},\,{x^2},\,x$ tương ứng với k lần lượt là 3, 2, 1.$ \Rightarrow \,C_3^3.{b^0},\,\,C_3^2.b\,,\,\,C_3^1.{b^2}$
*Hệ số chứa ${x^7}$ là -9 vậy:
$C_6^4.C_3^3.{a^2} + C_6^5.C_3^2.ab + C_6^6.C_3^1.{b^2}$= -9 [1]
[với quy ước ${a^0} = 1$]
*Tương tự trên, cũng đối với ${x^8}$ ta có
$C_6^6.C_3^2.b + C_6^5.C_3^3.a = 0$ [2]
Từ [1][2] ta có hệ phương trình sau:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
C_6^4C_3^3.{a^2} + C_6^5.C_3^2.ab + C_6^6.C_3^1.{b^2} = - 9\,\,\,\,\,[1]\\
C_6^6.C_3^2.b + C_6^5.C_3^3.a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
15{a^2} + 18ab + 3{b^2} = - 9\\
3b + 6a = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{a^2} + 6ab + {b^2} = - 3\\
b = - 2a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{a^2} + 6a\left[ { - 2a} \right] + {\left[ { - 2a} \right]^2} = - 3\\
b = - 2a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
b = - 2a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$ Vậy có hai kết quả là:
$a = 1,\,\,b = - 2$ và $a = - 1,\,\,b = 2$
*Lưu ý: Để tính hệ số của số hạng ${x^\alpha }$ [α là một số hữu tỉ cho trước] trong khai triển nhị thức Newton của $P[x] = {[f[x]]^n}$ ta làm như sau:
+Viết $P[x] = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}{x^{g[k]}}} $
+Số hạng chứa α tương ứng với $g[k] = \alpha $
+Giải phương trình $g[k] = \alpha $ ta tìm được k.
+Nếu $k \in {\rm N},\,\,k \le n,\,$ hệ số phải tìm là ${a_k}$, nếu $k \notin {\rm N}$ hoặc $k > n$ thì trong khai triển không có số hạng chứa ${x^\alpha }$ hệ số cần tìm bằng 0.
* Một số đề bài không cho bậc n của đa thức $P[x]$, ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc đó ta giải PT chứa ẩn n, $F[n] = 0$ để tìm bậc của $P[x]$, sau đó ta thực hiện các bước như trên.
*Bài tập
1]Giải phương trình:
$a]\,\,C_n^n + C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 79\,\,\,\,\,\,\,\,$ Đs: n = 12
$b]\,\,A_n^3 - A_n^2 = 12$ Đs: n = 4
$c]\,\,C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7[n + 3]$ Đs: n = 12
$d]\frac{1}{{C_x^1}} - \frac{1}{{C_{x + 1}^2}} = \frac{7}{{6.C_{x + 4}^1}}$ Đs: x = 8 & x = 3.
2] Tìm số hạng chứa ${x^{10}}$trong khai triển ${\left[ {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right]^n}$ biết rằng n thỏa mãn hệ thức: $C_n^4 = 13C_n^2,\,\,n \in {\rm N}$
Đs: n = 15; k = 7; -6435
3] Cho khai triển nhị thức Newton ${\left[ {\frac{x}{3} - \frac{3}{x}} \right]^{12}}$
a] Tìm số hạng chứa ${x^4}$. Đs:$k = 4;\,\,\,\frac{{55}}{9}$.
b] Tìm số hạng không chứa x. Đs: $k = 6;\,\,924$.
4] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left[ {x.\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[{15}]{{{x^{28}}}}}}} \right]^n}$, biết rằng n thỏa mãn hệ thức: $C_n^n + C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 79,\,\,\left[ {x \ne 0,\,\,n \in {\rm N}} \right].$ Đs: 792
5] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left[ {x.\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right]^n}$, biết rằng n thỏa mãn hệ thức: $C_n^2 - C_n^1 = 44,\,\,\left[ {x \ne 0,\,\,n \in {\rm N}} \right].$ Đs: n = 11, k = 3, 165.
6] a]Tìm hệ số chứa ${x^3}$ trong khai triển và rút gọn của đa thức: $P[x] = \,{\left[ {2x + 1} \right]^3} - {\left[ {3x + 1} \right]^4} + {\left[ {x + 1} \right]^7}$ Đs: -65
b]Tìm hệ số chứa ${x^9}$ trong khai triển và rút gọn của đa thức: $Q[x] = \,{\left[ {2 + x} \right]^{10}} + {\left[ {2 - x} \right]^{12}}$ Đs: -1740
7] Xét khai triển ${\left[ {1 - x + {x^2} - {x^3}} \right]^6}$ thành đa thức $P[x]\, = \,\,{a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + ..... + {a_{18}}{x^{18}}$ .
Tìm hệ số ${a_9}$.
Hướng dẫn: ${\left[ {1 - x + {x^2} - {x^3}} \right]^6} = {\left[ {1 - x} \right]^6}{\left[ {1 + {x^2}} \right]^6}$ làm tương tự ví dụ 9. Đs: -580---------Hết----------
Chúc các bạn có một buổi học tập bổ ích.