N 3 giai thừa bằng bao nhiêu?

BÀN VỀ HAI DẠNG TOÁN CỦA GIẢI TÍCH TỔ HỢP–

--------​

Giải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức Newton, trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau:
I/ Công thức Tổ hợp, nhị thức Newton.

* Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên ta có các công thức sau:
1) Công thức hoán vị: ${P_n} = n\,! = n(n - 1)(n - 2).......3.2.1.$ ( n giai thừa, n > 1).
2) Công thức chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\,\,\,\,\,\,(1 \leqslant k \leqslant n)$
3) Công thức Tổ hợp: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\,\,\,\,\,(0 \leqslant k \leqslant n)$
* Một số tính chất của số Tổ hợp: $C_n^k + C_n^{k - 1} = C_{n + 1}^k\,,\,\,\,C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^{n - k}$
*Khai triển nhị thức Newton:
$P(x) = {\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ..... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ..... + C_n^n{a^0}{b^n}.$
+ $P(x) = {\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^{n - k}}.{b^k}} $ (I)
+ Có n + 1 số hạng trong khai triển.
+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức.

4) Các công thức biến đổi với số mũ.
$1)\,{\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{n.m}},\,\,\,\,\,2)\,\,\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}},\,\,\,\,\,\,3)\,{a^n}.{a^m} = {a^{n + m}},\,\,\,\,\,\,\,\,4)\,\,{\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = {a^{ - n}},\,\,\,\,5)\,\,\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}.$
II/ Phương trình Tổ hợp.
Là phương trình (PT) có ẩn số nằm trong các công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị.

- Ví dụ 1: Giải phương trình : $C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \frac{7}{2}x$ (1)

Giải​

Điều kiện: $x \in {\rm N};\,\,x \geqslant 3$. Sử dụng công thức tổ hợp, ta có:
$\begin{gathered}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \,\,\,\frac{{x!}}{{1!\left( {x - 1} \right)!}}\, + \,\,\frac{{x!}}{{2!\left( {x - 2} \right)!}} + \frac{{x!}}{{3!\left( {x - 3} \right)!}} = \frac{7}{2}x \\
\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...2.1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...2.1}} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...2.1}}{{2.1.\left( {x - 2} \right)...2.1}} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...2.1}}{{3.2.1\left( {x - 3} \right)...2.1}} = \frac{7}{2}x \\
\end{gathered}$
$ \Leftrightarrow \,x\, + \,\frac{{x(x - 1)}}{2} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{6} = \frac{7}{2}x$
$\begin{gathered}
\Leftrightarrow 6x + 3x\left( {x - 1} \right) + x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 21x \\
\Leftrightarrow \,{x^3} - 16x = 0\,\, \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 16} \right) = 0\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0\,\,\,(loai) \\
x = - 4\,\,(loai)\,\, \\
x = 4\,\,(nhan) \\
\end{gathered} \right. \\
\end{gathered} $
Vậy PT đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 4.

-Ví dụ 2: Giải phương trình:
$C_{x - 1}^3 - C_{x - 1}^2 = \frac{2}{3}.A_{x - 2}^2$ (2)

Giải​

Đk: $x \geqslant 4,\,\,n \in {\rm N}$. Sử dụng công thức tổ hợp và chỉnh hợp, ta có:
$\begin{gathered}
(2) \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)!}}{{3!\left( {x - 4} \right)!}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 3} \right)!}} = \frac{2}{3}.\frac{{\left( {x - 2} \right)!}}{{\left( {x - 4} \right)!}} \\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{6} - \frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{2}{3}.\left( {x - 3} \right) \\
\Leftrightarrow {x^2} - 11x + 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 9\,(nhan) \\
x = 2\,(loai) \\
\end{gathered} \right. \\
\end{gathered} $
Vậy PT (2) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 9.

-Ví dụ 3: Giải phương trình: $A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\,\,\,$ (3)

Giải​

Đk :$x \geqslant 3,\,x \in {\rm N}$.
Sử dụng các công thức Tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị, ta có:
(3) $\Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 3} \right)!}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 1} \right)!}} - \frac{{3\left( {x - 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 3} \right)!}} = 3{x^2} + 6!\, + 159$
$\begin{gathered}
\Leftrightarrow \,x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + x\left( {x + 1} \right) - \frac{3}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 3{x^2} + 879 \\
\Leftrightarrow \,2{x^3} - 13{x^2} + 15x - 1764 = 0 \\
\end{gathered} $
Đến đây bằng cách nhập PT này vào máy tính ta tìm được một nghiệm x = 12 .Sử dụng sơ đồ Horner tách PT trên ta được:$\left( {x - 12} \right)\underbrace {\left( {2{x^2} + 11x + 147} \right)}_{vo\,\,nghiem} = 0\,\, \Leftrightarrow x = 12\,\,(n)$
Vậy PT (3) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 12.
- Ví dụ 4:Giải phương trình:
$C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = 2C_{n + 2}^8$. (4)

Giải​

Đk: $n \geqslant 9,n \in {\rm N}$. Sử dụng tính chất số Tổ hợp:
$C_n^k + C_n^{k - 1} = C_{n + 1}^k$. Ta có:
$\begin{gathered}
C_n^6 + 3C_n^7 + 3C_n^8 + C_n^9 = C_n^6 + C_n^7 + 2\left( {C_n^7 + C_n^8} \right) + C_n^8 + C_n^9 \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^7 + 2C_{n + 1}^8 + C_{n + 1}^9 = C_{n + 2}^8 + C_{n + 2}^9 = C_{n + 3}^9 \\
\end{gathered} $ Vậy, theo giả thiết tương đương với:
$\begin{gathered}
C_{n + 3}^9 = 2C_{n + 2}^8 \Leftrightarrow \,\frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{9!\left( {n - 6} \right)!}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right)!}}{{8!\left( {n - 6} \right)!}} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{n + 3}}{9} = 2\,\, \Leftrightarrow n = 15 \\
\end{gathered} $
PT (4) đã cho có duy nhất một nghiệm n = 15.

*Lưu ý: Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau:
+ Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với số tổ hợp thì $0 \leqslant k \leqslant n$, ví dụ:$C_{n + 3}^8$ thì đk của n là: $n + 3 \geqslant 8 \Leftrightarrow n \geqslant 5$
+Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp chứa ẩn thì phải chọn đk cho ẩn tổng quát và bao hàm nhất, ví dụ:
$C_{n + 1}^9 + C_{n + 2}^7$ thì đk là:
$\left\{ \begin{gathered}
n + 1 \geqslant 9 \Leftrightarrow n \geqslant 8 \\
n + 2 \geqslant 7 \Leftrightarrow n \geqslant 5 \\
\end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow n \geqslant 8$

+ Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, hoặc tính chất số tổ hợp (nếu được) để biến đổi, rút gọn và giải PT.
+ Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài toán để kết luận.
III/ Nhị thức Newton
Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này là : Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa thức, ta xét cụ thể các ví dụ sau:
-Ví dụ 1: Khai triển: ${\left( {x - y} \right)^5}$ thành tổng các đơn thức.

Giải​

Theo công thức Nhị thức Newton ta có:
$\begin{gathered}
{\left( {x - y} \right)^5} = {\left[ {x + \left( { - y} \right)} \right]^5} = C_5^0{x^5}{\left( { - y} \right)^0} + C_5^1{x^4}\left( { - y} \right) + C_5^2{x^3}{\left( { - y} \right)^2}\, + \\
+ C_5^3{x^2}{\left( { - y} \right)^3} + C_5^4x{\left( { - y} \right)^4} + C_5^5{x^0}{\left( { - y} \right)^5}. \\
\end{gathered} $ $= {x^5} - 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} - {y^5}$
- Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: $A\left( x \right) = {\left( {2x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^6},(x \ne 0)$

Giải​

Với $a = 2x\,\,;b = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}};\,\,n = 6$, Từ (I) ta có:
$\begin{gathered}
A\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k.{{\left( {2x} \right)}^{6 - k}}.{{\left( {\frac{{ - 1}}{{{x^2}}}} \right)}^k}} \\
= \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{{.2}^{6 - k}}.{{( - 1)}^k}.{x^{6 - k}}.{x^{ - 2k}}} \,\, = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{{.2}^{6 - k}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}.{x^{6 - 3k}}} \\
\end{gathered} $
Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao cho: $6 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 2$
Vậy số hạng cần tìm là $C_6^2{.2^{6 - 2}}.{( - 1)^2} = 240$
- Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển $B\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}},(x \ne 0,\,\,n \in {\rm N})$

Giải​

Ta có: $a = \frac{1}{{{x^3}}} = {x^{ - 3}}\,;\,b = \sqrt {{x^5}} = {x^{\frac{5}{2}}},\,\,\,n = 12$
Từ (I) ta có:
$B\,\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{{\left( {{x^{ - 3}}} \right)}^{12 - k}}.{{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{x^{\frac{{ - 72 + 11k}}{2}}}} $
Tìm k sao cho $\frac{{ - 72 + 11k}}{2} = 8 \Leftrightarrow k = 8$
Vậy số hạng cần tìm là: $C_{12}^4 = 495$

- Ví dụ 4: Xét khai triển $C\left( x \right) = {\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}$
Tìm hệ số chứa ${x^{21}}{y^{12}}$.

Giải​

Ta có $a = {x^3},\,\,\,b = xy,\,\,\,\,n = 15$
Từ (I) ta có: $\,C\left( x \right) = {\sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{{\left( {{x^3}} \right)}^{15 - k}}.\left( {xy} \right)} ^k} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 2k}}.{y^k}} $
Đến đây, ta thấy số mũ của y là k, theo đề bài số mũ của y là 12, suy ra k = 12.
Vậy hệ số chứa ${x^{21}}{y^{12}}$ là $C_{15}^{12} = 455$.

- Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển $D\left( x \right) = {\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n}\,,\,\left( {x \ne 0,\,n \in {\rm N}} \right)$ biết n thỏa mãn hệ thức sau:
$4C_{n + 1}^3 + 2C_n^2 = A_n^3$

Giải​

Đk: $n \geqslant 3;\,\,n \in {\rm N}.$
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương :
$\begin{gathered}
4.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} + 2.\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} \\
\Leftrightarrow \frac{4}{6}.\left( {n + 1} \right) + 1 = n - 2 \Leftrightarrow 2n = 22 \Leftrightarrow n = 11\,(nhan) \\
\end{gathered}$
Từ (I) ta có $\,D\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{11 - k}}.{{\left( { - 2{x^{ - 1}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k} .{\left( { - 2} \right)^k}.{x^{22 - 3k}}$
Tìm k sao cho: $22 - 3k = 7 \Leftrightarrow k = 5$
Vậy số hạng cần tìm là: $C_{11}^5.{\left( { - 2} \right)^5} = - 14784$.

- Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển $E\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^n}$, biết rằng n thỏa mãn hệ thức: $C_{n + 3}^9 = 2C_{n + 2}^8,\,\left( {x\, > 0,n \in {\rm N}} \right).$

Giải​

Đk: $n \ge 6;\,\,n \in {\rm N}$
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương:
$\begin{array}{l}
\frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{9!\left( {n - 6} \right)!}} = 2.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{8!\left( {n - 6} \right)!}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{9!}} = 2.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{8!}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{n + 3}}{{9!}} = \frac{2}{{8!}} \Leftrightarrow n = 15
\end{array}$
Ta có: $a = \,\sqrt[3]{x}\, = {x^{\frac{1}{3}}},\,\,\,b = \frac{2}{{\sqrt x }} = 2.{x^{\frac{{ - 1}}{2}}},\,\,\,n = 15$
Từ (I) ta có:
$E\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)}^{15 - k}}.{{\left( {2.{x^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{\frac{{30 - 5k}}{6}}}{{.2}^k}} $ Ta tìm k sao cho $\frac{{30 - 5k}}{6} = 0 \Leftrightarrow k = 6$
Vậy số hạng cần tìm là: $C_{15}^6{.2^6} = 320320$
- Ví dụ 7: Tìm số hạng chứa ${x^{12}}$trong khai triển nhị thức Newton $F\left( x \right) = {\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^n};\,(x > 0,\,n \in {\rm N})\,$
biết rằng n thỏa mãn hệ thức sau: $C_n^1 + 2.\frac{{C_n^2}}{{C_n^1}} + 3.\frac{{C_n^3}}{{C_n^2}} + ..... + n.\frac{{C_n^n}}{{C_n^{n - 1}}} = 2016$ (*)

Giải​

Vế trái (*) $ \Leftrightarrow \,n + n - 1 + n - 2 + ..... + 1$ là tổng của một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai lần lượt là: ${u_1} = n\,,\,\,\,d = - 1$
*Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng ${S_n} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d + n{u_1}$
$\begin{array}{l}
(*) \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)( - 1)}}{2} + {n^2} = 2016\\
\Leftrightarrow {n^2} + n - 4032 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 63\,\,\,(n)\\
n = - 64\,\,(l)
\end{array} \right.
\end{array}$
với $a = \frac{x}{2},\,\,\,b = \frac{1}{{\sqrt x }},\,\,\,n = 63$. Từ (I) ta có:
$F\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{63} {C_{63}^k.{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^{63 - k}}.{{\left( {\frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{63} {C_{63}^k.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{63 - k}}.{x^{\frac{{126 - 3k}}{2}}}} $
Tìm k sao cho $\frac{{126 - 3k}}{2} = 12 \Leftrightarrow k = 34\,\,(n)$
Số hạng cần tìm là: $C_{63}^{34}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{63 - 34}} = 14141697626$
Ví dụ 8: Khi khai triển nhị thức Newton ${\left( {1 + ax} \right)^n}$ ta được số hạng thứ hai là $24x$; số hạng thứ ba là $252{x^2}$. Hãy tìm a và n.

Giải​

Ta có: $a = 1,\,\,\,b = ax$. Từ (I) ta có:
$\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{\left( {ax} \right)}^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k.{a^k}.{x^k}} } $
*Theo đề bài số hạng thứ hai là 24x nên:
$C_n^k.{a^k}.{x^k} = 24x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = 1\\
C_n^1.a = 24\,\,\,\,(1)
\end{array} \right.$
*Theo đề bài số hạng thứ ba là $252{x^2}$ nên:
$C_n^k.{a^k}.{x^k} = 252{x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = 2\\
C_n^2.{a^2} = 252\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$
*Từ (1)(2) ta có hệ phương trình sau:
$\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
C_n^1.a = 24\,\,\,(1)\\
C_n^2.{a^2} = 252\,\,(2)
\end{array} \right.$
(1) $ \Leftrightarrow a = \frac{{24}}{{C_n^1}}$ thay vào (2) ta được:
$\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow C_n^2.{\left( {\frac{{24}}{{C_n^1}}} \right)^2} = 252 \Leftrightarrow \frac{{C_n^2}}{{{{\left( {C_n^1} \right)}^2}}} = \frac{{252}}{{{{24}^2}}} = \frac{7}{{16}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{C_n^2}}{{{n^2}}} = \frac{7}{{16}} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{7{n^2}}}{{16}}\,\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{2} = \frac{{7n}}{{16}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2n = 16 \Leftrightarrow n = 8.
\end{array}$
* Với n = 8 thay vào (1) $a = \frac{{24}}{{C_8^1}} = 3$
Vậy $a = 3,\,\,\,n = 8$.
Ví dụ 9: Khi khai triển ${\left( {a + x} \right)^6}{\left( {b + x} \right)^3}$ (*) ta được hệ số chứa ${x^7}$ là -9; không có số hạng chứa ${x^8}$ . Hãy tìm a và b.

Giải​

*Ta có nhận xét: (*) là tích của hai nhị thức: nhị thức bậc 6 và nhị thức bậc 3. Vậy để tạo ra số hạng ${x^7}$ thì phải tồn tại trong nhị thức bậc 6 các biến ${x^4},\,{x^5},\,{x^6}$ nhân với các biến số tương ứng trong nhị thức bậc 3 là ${x^3},\,{x^2},\,x$.
*Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có:
$\sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k.{a^{6 - k}}.{x^k}} $ số hạng chứa ${x^4},\,{x^5},\,{x^6}$ tương ứng với k lần lượt là 4, 5, 6. $\Rightarrow \,C_6^4.{a^2},\,\,C_6^5.a\,,\,\,C_6^6.{a^0}$
*Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có:
$\sum\limits_{k = 0}^3 {C_3^k.{b^{3 - k}}.{x^k}} $ số hạng chứa ${x^3},\,{x^2},\,x$ tương ứng với k lần lượt là 3, 2, 1.$ \Rightarrow \,C_3^3.{b^0},\,\,C_3^2.b\,,\,\,C_3^1.{b^2}$
*Hệ số chứa ${x^7}$ là -9 vậy:
$C_6^4.C_3^3.{a^2} + C_6^5.C_3^2.ab + C_6^6.C_3^1.{b^2}$= -9 (1)
(với quy ước ${a^0} = 1$)
*Tương tự trên, cũng đối với ${x^8}$ ta có
$C_6^6.C_3^2.b + C_6^5.C_3^3.a = 0$ (2)
Từ (1)(2) ta có hệ phương trình sau:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
C_6^4C_3^3.{a^2} + C_6^5.C_3^2.ab + C_6^6.C_3^1.{b^2} = - 9\,\,\,\,\,(1)\\
C_6^6.C_3^2.b + C_6^5.C_3^3.a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
15{a^2} + 18ab + 3{b^2} = - 9\\
3b + 6a = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{a^2} + 6ab + {b^2} = - 3\\
b = - 2a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{a^2} + 6a\left( { - 2a} \right) + {\left( { - 2a} \right)^2} = - 3\\
b = - 2a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
b = - 2a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$ Vậy có hai kết quả là:
$a = 1,\,\,b = - 2$ và $a = - 1,\,\,b = 2$
*Lưu ý: Để tính hệ số của số hạng ${x^\alpha }$ (α là một số hữu tỉ cho trước) trong khai triển nhị thức Newton của $P(x) = {(f(x))^n}$ ta làm như sau:
+Viết $P(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}{x^{g(k)}}} $
+Số hạng chứa α tương ứng với $g(k) = \alpha $
+Giải phương trình $g(k) = \alpha $ ta tìm được k.
+Nếu $k \in {\rm N},\,\,k \le n,\,$ hệ số phải tìm là ${a_k}$, nếu $k \notin {\rm N}$ hoặc $k > n$ thì trong khai triển không có số hạng chứa ${x^\alpha }$ hệ số cần tìm bằng 0.
* Một số đề bài không cho bậc n của đa thức $P(x)$, ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc đó ta giải PT chứa ẩn n, $F(n) = 0$ để tìm bậc của $P(x)$, sau đó ta thực hiện các bước như trên.

*Bài tập
1)Giải phương trình:
$a)\,\,C_n^n + C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 79\,\,\,\,\,\,\,\,$ Đs: n = 12
$b)\,\,A_n^3 - A_n^2 = 12$ Đs: n = 4
$c)\,\,C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7(n + 3)$ Đs: n = 12
$d)\frac{1}{{C_x^1}} - \frac{1}{{C_{x + 1}^2}} = \frac{7}{{6.C_{x + 4}^1}}$ Đs: x = 8 & x = 3.

2) Tìm số hạng chứa ${x^{10}}$trong khai triển ${\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}$ biết rằng n thỏa mãn hệ thức: $C_n^4 = 13C_n^2,\,\,n \in {\rm N}$
Đs: n = 15; k = 7; -6435

3) Cho khai triển nhị thức Newton ${\left( {\frac{x}{3} - \frac{3}{x}} \right)^{12}}$
a) Tìm số hạng chứa ${x^4}$. Đs:$k = 4;\,\,\,\frac{{55}}{9}$.
b) Tìm số hạng không chứa x. Đs: $k = 6;\,\,924$.

4) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left( {x.\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[{15}]{{{x^{28}}}}}}} \right)^n}$, biết rằng n thỏa mãn hệ thức: $C_n^n + C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 79,\,\,\left( {x \ne 0,\,\,n \in {\rm N}} \right).$ Đs: 792

5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left( {x.\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}$, biết rằng n thỏa mãn hệ thức: $C_n^2 - C_n^1 = 44,\,\,\left( {x \ne 0,\,\,n \in {\rm N}} \right).$ Đs: n = 11, k = 3, 165.

6) a)Tìm hệ số chứa ${x^3}$ trong khai triển và rút gọn của đa thức: $P(x) = \,{\left( {2x + 1} \right)^3} - {\left( {3x + 1} \right)^4} + {\left( {x + 1} \right)^7}$ Đs: -65
b)Tìm hệ số chứa ${x^9}$ trong khai triển và rút gọn của đa thức: $Q(x) = \,{\left( {2 + x} \right)^{10}} + {\left( {2 - x} \right)^{12}}$ Đs: -1740

7) Xét khai triển ${\left( {1 - x + {x^2} - {x^3}} \right)^6}$ thành đa thức $P(x)\, = \,\,{a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + ..... + {a_{18}}{x^{18}}$ .
Tìm hệ số ${a_9}$.
Hướng dẫn: ${\left( {1 - x + {x^2} - {x^3}} \right)^6} = {\left( {1 - x} \right)^6}{\left( {1 + {x^2}} \right)^6}$ làm tương tự ví dụ 9. Đs: -580

---------Hết----------
Chúc các bạn có một buổi học tập bổ ích.​