Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 10
Bài tập hệ trục tọa độ trong mặt phẳng là tài liệu cực kì hữu ích mà hôm nay Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô giáo cùng các bạn học sinh lớp 10 tham khảo.
Tài liệu bao gồm 19 trang tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết và bài tập chủ đề hệ trục tọa độ trong mặt phẳng thuộc chương 3 Hình học lớp 10. Hi vọng với tài liệu này các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, củng cố kiến thức môn Toán 10. Mời các bạn cùng theo dõi nội dung chi tiết tại đây.
Xem thêm
//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘA. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :I.TRỤC TỌA ĐỘ:1. Định nghĩa: Trục tọa độ [Trục , hay trục số ] là một đường thẳng trên đó ta đã xácrrr vị i [ tức là i = 1 ]định một điểm O và một vectơ đơnix'OxHình 1.30rĐiểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ i được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệur[O ; i ] hay x ' Ox hoặc đơn giản là Ox2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:rurrur+ Cho vec tơ u nằm trên trục [O ; i ] thì có số thực a sao cho u = a i với a Î R . Số a nhưuurrthế được gọi là tọa độ của vectơ u đối với trục [O ; i ]uuurrur+ Cho điểm M nằm trên [O ; i ] thì có số m sao cho OM = m i . Số m như thế được gọi làrtọa độ của điểm M đối với trục [O ; i ]uuurNhư vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OM3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục :uuurCho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ AB kí hiệu là AB và gọi là độuuurdài đại số của vectơ AB trên trục OxuuurrNhư vậy AB = AB.iTính chất :+ AB = - BAuuur uuur+ AB = CD Û AB = CD//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiur+ " A; B; C Î [O ; i ] : AB + BC = ACII. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trụcvuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vịr rlần lượt là i , j . Điểm O gọi là gốc tọa độ,Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trụcyKOtung.r rKí hiệu Oxy hay O ; i , j[]MH xHình 1.312. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .rrrr r+ Trong hệ trục tọa độ O ; i , j nếu u = xi + y j thì cặp số [x; y] được gọi là tọa độ củarrrvectơ u , kí hiệu là u = [x; y] hay u[x; y] .[]rx được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ uuuurr r+ Trong hệ trục tọa độ O ; i , j , tọa độ của vectơ OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu[]là M = [x; y] hay M [x; y]. x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.Nhận xét: [hình 1.31] Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thìuuurrr uuur uuurM [x; y] Û OM = xi + y j = OH + OKuuurr uuurrNhư vậy OH = xi , OK = y j hay x = OH , y = OK3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.+ Cho A[ x A ; y A ], B[ xB ; y B ] và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm M [xM ; y M ] củađoạn thẳng AB là xM =x A + xBy + yB, yM = A22//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải+ Cho tam giác ABC có A[ x A ; y A ], B[ xB ; y B ], C [xC ; yC ]. Tọa độ trọng tâm G [xG ; yG ]của tam giác ABC là xG =x A + xB + xCy + yB + yCvà yG = A324. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.urrCho u = [ x; y] ; u ' = [ x '; y '] và số thực k. Khi đó ta có :r ur ìï x = x '1] u = u ' Û ïíïïî y = y 'r r2] u ± v = [ x ± x '; y ± y ']r3] k.u = [ kx; ky ]urr r r4] u ' cùng phương u [ u ¹ 0 ] khi và chỉ khi có số k sao choìï x ' = kxïíïïî y ' = kyuuur5] Cho A[ x A ; y A ], B[ xB ; y B ] thì AB = [xB - xA ; yB - y A ]B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ vàrchứng minh hệ thức liên quan trên trục [O ; i ]1. Phương pháp giải.Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:uuurr• Điểm M có tọa độ a Û OM = a.iuuurruuur• Vectơ AB có độ dài đại số là m = AB Û AB = mi• Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì AB = b - a• Các tính chất+ AB = - BAuuur uuur+ AB = CD Û AB = CDur+ " A; B; C Î [O ; i ] : AB + BC = AC//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải2. Các ví dụ.rVí dụ 1: Trên trục tọa độ [O ; i ] cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là–2 ; 1 và 4.uuur uuur uuura] Tính tọa độ các vectơ AB ; BC ; CAb] Chứng minh B là trung điểm của AC.Lời giải:a] Ta có AB = 1 + 2 = 3 , BC = 3, CA = - 6uuuruuurb] Ta có BA = - 3 = - BC Þ BA = - BC suy ra B là trung điểm ACrVí dụ 2: Trên trục tọa độ [O; i ] cho 4 điểm A, B, C , D bất kỳ. Chứng minhAB.CD + AC.DB + AD.BC = 0Lời giải:Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d.Ta có AB.CD = [b - a][d - c] = bd + ac - bc - adAC.DB = [c - a][b - d] = bc + ad - cd - abAD.BC = [d - a][c - b] = cd + ab - ac - bdCộng vế với vế lại ta được AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0Cách 2: AB.CD + AC.DB + AD.BC =[][][AB. AD - AC + AC. AB - AD + AD. AC - AB]= AB.AD - AB.AC + .AC.AB - AC.AD + AD.AC - AD.AB= 03. Bài tập luyện tập.rBài 1.80.Trên trục tọa độ [O; i ] Cho 2 điểm A và B có tọa độ lần lượt a và b .//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiuuuruuura]Tìm tọa độ điểm M sao cho MA = kMB [ k ¹ 1]A. xM =kb - a2k - 1B. xM =kb - 2ak- 1kb - ak- 2C. xM =2a + b2C. xI =a+ b3D. xM =kb - ak- 1b]Tìm tọa độ trung điểm I của ABA. xI =a- b2B. xI =D. xI =a+ b2c]Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA = - 5NBA. xN =4b + 2 a7B. xN =5b + 2a7C. xN =5b + 4a7D. xN =5b + 3a7Lời giải:Bài 1.80: a] xM =5b + 2akb - aa+ bb] xI =c] xN =k- 172rBài 1.81.Trên trục [O ; i ] cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là a ; b ; c . Tìm điểm Iuur uur uur ursao cho : IA + IB + IC = 0a+ b+ c2A. xI =a+ b+ c4B. xI =C. xI =a+ b+ c3D. xI = 2a+ b+ c3Lời giải:Bài 1.81: xI =a+ b+ c3rBài 1.82. Trên trục tọa độ [O ; i ] cho 4 điểm A, B, C , D có tọa độ lần lượt là a, b, c , dvà thỏa mãn hệ thức 2[ ab + cd] = [ a + b][c + d] . Chứng minh rằngDADB=-CACB//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiLời giải:Bài 1.82: Ta cóDADB=-CACBÛa- da- c=b- db- cÛ ab - ac - bd + cd = bc - ab - cd + adÛ 2[ ab + cd] = c[ a + b] + d[ a + b]Û 2[ ab + cd] = [ a + b][c + d] DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy .1. Phương pháp.r• Để tìm tọa độ của vectơ a ta làm như sauuuur rDựng vectơ OM = a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy . Khirđó a [a1 ; a2 ] với a1 = OH , a2 = OKuuur• Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OAuuur• Nếu biết tọa độ hai điểm A[ x A ; y A ], B[ xB ; y B ] suy ra tọa độ AB được xác định theocônguuurthức AB = [xB - xA ; yB - y A ]Chú ý: OH = OH nếu H nằm trên tia Ox [hoặc Oy ] và OH = - OH nếu H nằm trên tiađối tia Ox [hoặc Oy ]2. Các ví dụ:Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Choyđiểm M [x; y].Tìm tọa độ của các điểmM[x;y]M2OM3xM1Hình 1.32//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảia] M1 đối xứng với M qua trục hoànhA. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 [- x; - y]B. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 [x; y]C. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 [x; - y]D. M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 [- x; y]b] M 2 đối xứng với M qua trục tungA. M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 [- x; - y]B. M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 [x; y]C. M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 [x; - y]D. M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 [- x; y]c] M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độA. M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M 3 [- x; y]B. M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 [- x; - y]C. M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M 3 [x; - y]D. M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M 3 [x; y]Lời giải:[hình 1.32]a] M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1 [x; - y]b] M 2 đối xứng với M qua trục tung suy ra M 2 [- x; y]//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảic] M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra M3 [- x; - y]r rVí dụ 2: Trong hệ trục tọa độ [O; i ; j ], cho hình vuông ABCD tâm I và có A[1; 3] . Biếtuuur uuurruuurrđiểm B thuộc trục [O; i ] và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AB, BC vàuuurACuuurA. AB[0; - 3]uuurB. BC [3; 0]uuurC. AC [3; - 3]D. Cả A, B, C đều đúngLời giải:[hình 1.33]Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ[hình bên]Vì điểm A[1; 3] suy ra AB = 3, OB = 1yADDo đó B [1; 0], C [4; 0], D [4; 3]uuuruuuruuurVậy AB[0; - 3], BC [3; 0] và AC [3; - 3]OOBCxHình 1.33·= 60 0 . BiếtVí dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD cạnh a và BADA trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục Ox và xB ³ 0, y B ³ 0 . Tìm tọa độ các đỉnh củahình thoi ABCDæa 3 a öæa 3aö÷÷çç÷; ÷,Ca3;a,D;A. A [0; 0], B ççç÷÷ç÷÷çè 2 2 ø2ø÷÷èç 2[]æ a 3 aöæ a 3aö÷÷; ÷, C a 3; 0 , D ççç;- ÷B. A [0; 0], B ççç÷÷÷÷çè 2 2 ø2ø÷÷èç 2[]//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiæa 3 a ÷öæa 3aö÷çç÷ççC. A [0; 0], B ç; ÷, C - a 3; 0 , D ç;- ÷÷÷÷çè 2 2 ÷2ø÷øèç 2[]æa 3 a öæa 3aö÷÷çç÷D. A [0; 0], B ççç; ÷,Ca3;0,D;÷÷ç÷÷çè 2 2 ø2ø÷÷èç 2[]Lời giải:[hình 1.34]yTừ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặtBphẳng tọa độ OxyCGọi I là tâm hình thoi ta cóA· = a sin 300 = aBI = AB sin BAI2AI =AB2 - BI 2 =Suy ra A [0; 0],a2 -IxDa2a 3=42Hình 1.34æa 3 a öæa 3aö÷÷B ççç; ÷, C a 3; 0 , D ççç;- ÷÷÷÷÷çè 2 2 ø2ø÷÷èç 2[]3. Bài tập luyên tập.r rBài 1.83: Trong hệ trục tọa độ [O; i ; j ], Cho tam giác đều ABC cạnh a, biết O là trunguuur ruuurrđiểm BC, i cùng hướng với OC , j cùng hướng OA .a] Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABCæ a 3÷ö÷A. A ççç0;÷çè2 ÷÷øæ a öB. B çç- ; 0÷÷çè 2 ÷øæa öC. C çç ; 0÷÷çè 2 ÷øD.Cả A, B, C đều đúngb] Tìm tọa độ trung điểm E của AC//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiæ a a 3÷öç÷çA. E ç- ; ÷÷çè 44 ø÷æa a 3 ö÷÷B. E ççç ;÷çè 4 4 ÷÷øæa a 3 ÷öç÷çC. E ç ;÷÷çè 3 3 ø÷æa a 3 ö÷÷D. E ççç ;÷çè 2 2 ÷÷øc] Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCæ a 3ö÷÷A. G ççç0;÷çè2 ÷÷øæ a 3ö÷÷B. G ççç0;÷çè3 ÷÷øæ a 3ö÷÷C. G ççç0;÷çè4 ÷÷øæ a 3ö÷÷D. G ççç0;÷çè6 ÷÷øLời giải:æ a 3÷ö÷Bài 1.83: a] A ççç0;,÷÷çè2 ø÷æ a ö æa ö÷çB çç- ; 0÷÷÷÷, C èçç 2 ; 0ø÷çè 2 øæa a 3 ö÷÷b] E ççç ;÷çè 4 4 ÷÷øæ a 3ö÷÷c] Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm G ççç0;÷çè6 ÷÷ør rBài 1.84: Trong hệ trục tọa độ [O; i ; j ], Cho hình thoi ABCD tâm O córuuuruuurrAC = 8, BD = 6 . Biết OC và i cùng hướng, OB và j cùng hướng.a] Tính tọa độ các đỉnh của hình thoiA. A [4; 0], C [4; 0], B [1; 3], D [0; - 3]B. A [- 4; 0], C [4; 0], B [1; 3], D [0; 3]C. A [- 4; 0], C [4; 0], B [0; 3], D [0; - 3]D. A [- 4;1], C [4;1], B [1; 3], D [0; - 3]b] Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm tam giác ABCæ 3öA. I çç2; ÷÷, G [2;1]çè 2 ÷øæ 3öB. I çç2; ÷÷, G [0;1]çè 2 ÷ø//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiæö3ö æçç 2 ;1÷D. I çç- 2; - ÷,G÷÷ èç 3 ø÷÷çè2øæ 3ö æ 1öC. I çç2; ÷÷, G çç2; ÷÷çè 2 ø÷ èç 3 ø÷Lời giải:Bài 1.84: a] A [- 4; 0], C [4; 0], B [0; 3], D [0; - 3]æ 3öb] I çç2; ÷÷, G [0;1]çè 2 ÷øBài 1.85: Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD = 3,ruuurr r·BAD= 60 0 . Chọn hệ trục tọa độ A; i , j sao cho i và AD cùng hướng, y B > 0 . Tìm[]Khẳng định sai?uuurA. AB =[]3; 3uuurB. AC = 4 + 3; 3[uuurC. CD =[]]3; - 3uuurD. BC = [4; 0]Lời giải:Bài 1.85: Kẻ BH ^ AD Þ BH = 3; AB = 2 3; AH =A[0; 0] ; B[ 3; 3] C[4 + 3; 3] D[4; 0]uuuruuuruuurAB = 3; 3 BC = [4; 0] CD = - 3; - 3uuurAC = 4 + 3; 3[[][3]]r rBài 1.86: Cho lục giác đều ABCDEF . Chọn hệ trục tọa độ [O; i ; j ], trong đó O là tâmuuur ruuurrlục giác đều , i cùng hướng với OD , j cùng hướng EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giácđều , biết cạnh của lục giác là 6 .[] [] [] [A. A[- 6; 0], D [6; 0], B - 3; - 3 3 , C 3; 3 3 , F - 3; - 3 3 , E 3; - 3 3]//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải[] [] [] [B. A[- 6; 0], D [6; 0], B - 3; 3 3 , C 3; 3 3 , F 3; 2 3 , E 3; - 3 3,]C. A[- 6;1], D [6;1], B - 3; 3 3 , C 3; 3 3 , F - 3; - 3 3 , E 3; - 3 3[] [] [] [][] [] [] []D. A[- 6; 0], D [6; 0], B - 3; 3 3 , C 3; 3 3 , F - 3; - 3 3 , E 3; - 3 3Lời giải:[]Bài 1.86: ĐS: A[- 6; 0], D [6; 0], B - 3; 3 3 ,[] [] [C 3; 3 3 , F - 3; - 3 3 , E 3; - 3 3] DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạngr r r rru + v, u - v, k u1. Phương pháp.r r r rrDùng công thức tính tọa độ của vectơ u + v , u - v , k uurrr rrVới u = [ x; y] ; u ' = [ x '; y '] và số thực k, khi đó u ± v = [ x ± x '; y ± y '] và k.u = [ kx; ky ]2. Các ví dụ.rurrVí dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: a = [ 3; 2] b = [ - 1; 5] c = [ - 2 ; - 5]Tìm tọa độ của vectơ saurrrrrrra] u + 2 v với u = 3i - 4 j và v = p irrrrA. u + 2v = [1 + p ; - 4] B. u + 2v = [3 + p ; 4]rrC. u + 2v = [3 + 2p ; - 4]rrD. u + 2v = [3 + p ; - 4]rr rrrrurb] k = 2 a + b và l = - a + 2b + 5curA. k = [5; 9]rB. l = [- 15; - 17 ]//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiC. Ca A, B đều đúngD. Cả A, B đều saiLời giải:rrrrrrrrra] Ta có u + 2v = 3i - 4 j + p i = [3 + p ]i - 4 j suy ra u + 2v = [3 + p ; - 4]urururb] Ta có 2 a = [6; 4] b = [- 1; 5] suy ra k = [6 - 1; 4 + 5] = [5; 9] ;ururur- a = [- 3; - 2], 2b = [- 2;10] và 5c = [- 10; - 25] suy rarl = [- 3 - 2 - 10; - 2 + 10 - 25] = [- 15; - 17 ]rrrrVí dụ 2: Cho a = [1; 2], b = [- 3; 4] ; c = [- 1; 3] . Tìm tọa độ của vectơ u biếtrr r ra] 2u - 3a + b = 0rA. u = [2;1]rC. u = [- 3;1]rB. u = [3;1]rD. u = [3; 2]rrrrb] 3u + 2a + 3b = 3crA. u =æ7 7 öçç ; - ÷÷÷çè 3 3 ørB. u =æ4 7 öçç ; - ÷÷÷çè 2 2 øLời giải:rr r rr 3r 1ra] Ta có 2u - 3a + b = 0 Û u = a - b22rSuy ra u =æ3 3öçç + ; 3 - 2÷÷÷= [3;1]çè 2 2ørrrrr2r r rb] Ta có 3u + 2a + 3b = 3c Û u = - a - b + c3r æ 24Suy ra u = çç- + 3 - 1; - - 4 +çè 33ö3÷÷÷=øæ4 7 öçç ; - ÷÷÷èç 3 3 øVí dụ 3: Cho ba điểm A [- 4; 0], B [0; 3] và C [2;1]rC. u =æ5 7 ÷öçç ; - ÷çè 3 3 ÷ørD. u =æ4 7 öçç ; - ÷÷÷çè 3 3 ø//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiruuur uuura] Xác định tọa độ vectơ u = 2 AB - ACrA. u = [1; 5]rB. u = [- 2; 5]rC. u = [2; 4]rD. u = [2; 5]æ1 3 öC. M çç ; ÷÷çè 3 2 ø÷æ1 3 öD. M çç ; ÷÷çè 3 4 ø÷uuuruuuruuur rb] Tìm điểm M sao cho MA + 2 MB + 3 MC = 0æ1 3 öA. M çç ; ÷÷çè 2 2 ø÷æ 1 3öB. M çç- ; - ÷÷çè 3 2 ÷øLời giải:uuurruuura] Ta có AB [4; 3], AC [6;1] suy ra u = [2; 5]uuuruuuruuurb] Gọi M [x; y], ta có MA [- 4 - x; - y], MB [- x; 3 - y], MC [2 - x;1 - y]uuuruuuruuurSuy ra MA + 2 MB + 3 MC = [- 6 x + 2; - 6 y + 9]ìïuuuruuuruuur r ìï - 6 x + 2 = 0 ïïï x =Û íDo đó MA + 2 MB + 3 MC = 0 Þ ïíïïî - 6 y + 9 = 0 ïïïï y =ïî1332æ1 3 öVậy M çç ; ÷÷èç 3 2 ø÷3. Bài tập luyện tập.urur æ 1 ö urBài 1.87.Cho các vecto a = [ 2; 0], b = çç- 1; ÷÷÷, c = [4 ; 6] .çè2ørTìm tọa độ vectơ u biếturururura] u = 2 a - 4b + 5curA. u = [2; - 8]urB. u = [8; - 28]urC. u = [28; - 28]urD. u = [8; - 8]//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiururr rb] a - 2b + 2u = cur7A. u = [- 2; ]2ur3B. u = [0; ]2ur7C. u = [0; ]2ur7D. u = [- 1; ]2Lời giải:urBài 1.87: ĐS: a] u = [28; - 28]ur7b] u = [0; ]2Bài 1.88. Cho ba điểm A [- 4; 0], B [- 5; 0] và C [3; - 3]r uuuruuuruuura] Tìm tọa độ vectơ u = AB - 2 BC + 3CArA. u[- 3; 3]rB. u[- 8; 3]rC. u[- 38; 3]rD. u[- 38; 33]C. M [2; 1]D. M [- 2; - 1]uuur uuur uuur rb] Tìm điểm M sao cho MA + MB + MC = 0A. M [- 2;1]B. M [2; - 1]Lời giải:rBài 1.88: ĐS: a] u[- 38; 3] b] M [- 2; - 1] DẠNG 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình1. Phương pháp.Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức+ M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra xM =+ G trọng tâm tam giác ABC suy ra xG =rur+ u[x; y] = u ' [x '; y '] Û2. Các ví dụ.ìï x = x 'ïíïïî y = y 'x A + xBy + yB, yM = A22xA + xB + xCy + yB + yC, yG = A32//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiVí dụ 1: Cho tam giác ABC có A[2;1], B[- 1; - 2], C[- 3; 2] .a] Tìm tọa độ trung điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn MBA. M [- 5; 6]B. M [5; 3]C. M [- 5; - 6]D. M [5; 6]æ 1 1öC. G çç- ; ÷÷çè 3 3 ÷øæ2 1 öD. G çç ; ÷÷çè 3 3 ø÷C. D [2; 5]D. D [1; 5]b] Xác định trọng tâm tam giác ABCæ 2 2öA. G çç- ; ÷÷çè 3 3 ÷øæ 2 1öB. G çç- ; ÷÷÷çè 3 3 øb] Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hànhA. D [0; 4]B. D [0; 5]Lời giải:a] C là trung điểm của MB suy ra xC =và yC =x M + xBÞ xM = 2 xC - xB = - 52y M + yBÞ yM = 2 yC - yB = 62Vậy M [- 5; 6]b] G là trọng tâm tam giác suy raxG =xA + xB + xC 2 - 1 - 3y + yB + yC 1 - 2 + 2 12====và yG = A323333æ 2 1öVậy G çç- ; ÷÷÷çè 3 3 øuuurc] Gọi D[ x; y ] Þ DC = [- 3 - x; 2 - y]Ta có: ABCD là hình bình hành suy rauuur uuur ìï - 3 - x = - 3AB = DC Û ïíÛïïî 2 - y = - 3ìï x = 0ïíÞ D[0; 5] .ïïî y = 5//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiVậy D [0; 5]Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A [3; - 1], B [- 1; 2] và I [1; - 1] . Xác định tọađộ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giácABC . Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD .æ 7öA. O çç3; - ÷÷÷çè2øæ5öC. O çç- 2; - ÷÷÷çè2øæ5öB. O çç2; - ÷÷÷çè2øæ 5öD. O çç2; ÷÷çè 2 ø÷Lời giải:Vì I là trọng tâm tam giác ABC nênxI =xA + xB + xCÞ xC = 3xI - xA - xB = 13yI =y A + yB + yCÞ yC = 3 yI - y A - yB = - 42suy ra C [1; - 4]Tứ giác ABCD là hình bình hành suy rauuur uuur ìï - 1 - 3 = 1 - xìï x = 5DAB = DC Û ïíÛ ïí DÞ D[5; - 7]ïïî 2 + 1 = - 4 - yD ïïî yD = - 7Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đóxO =æxA + xCy + yC55ö= 2, yO = A= - Þ O çç2; - ÷÷çè2222÷ø3. Bài tập luyện tập.Bài 1.89: Cho ba điểm A[3; 4], B[2;1], C[- 1; - 2]a] Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC và tọa độ trọng tâm của tam giác ABCæ4 öæ1 1 öA. I çç ; - ÷B. G çç ;1÷÷÷çè 3 ø÷çè 2 2 ø÷C.Cả A, B đều đúngD. Cả A, B đều sai//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảib] Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hànhA. D [5;1]B. D [0;1]C. D [3;1]D. D [2;1]Lời giải:æ1 1 öæ4 ö÷çç ;1÷Bài 1.89: a] Trung điểm BC là I çç ; - ÷,trọngtâmcủatamgiáclàGABC÷çè 3 ø÷çè 2 2 ø÷uuur uuurb] Tứ giác ABCD là hình bình hành Û AB = DC Ûìï x = 0ïíÞ D [0;1]ïïî y = 1Bài 1.90: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A [3; 4], B [- 1; 2], I [4;1]. Xác định tọa độ cácđiểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD. Tìm tọatâm O của hình bình hành ABCD .æ9 öA. C [2; - 2], D [3; 0], O çç ; 2÷÷÷çè 2 øB. C [1; - 2], D [- 6;1], O [3; 2]æ9C. C [3; - 2], D [3; 0], O çç ; çè 2æ9 öD. C [2; - 2], D [6; 0], O çç ; 2÷÷÷çè 2 øö2÷÷÷øLời giải:Bài 1.90: Do I [4; - 1] là trung điểm của CD nên đặtuuurC [4 - x; - 1 - y], D [4 + x; - 1 + y] Þ CD [2 x; 2 y]uuur uuurTứ giác ABCD là hình bình hành Û CD = BA Ûìï x = 2ïíïïî y = 1æ9 öVậy C [2; - 2], D [6; 0], O çç ; 2÷÷÷çè 2 øBài 1.91: Cho tam giác ABC có A [3;1], B [1; - 3] , đỉnh C nằm trên Oy và trọng tâm Gnằm trên trục Ox . Tìm tọa độ đỉnh CA. C [0; 2]B. C [0; - 2]C. C [0; 4]D. C [0; 3]//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiLời giải:Bài 1.91: Từ giả thiết ta có C [0; y], G [x; 0]ìïìï x A + xB + xC = 3xGïï x = 4ïÛ íG là trọng tâm tam giác nên í3ïïî y A + y B + yC = 3 yGïïy=2ïîVậy C [0; 2]Bài 1.92: Cho tam giác ABC có M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . BiếtM[1;1], N[- 2; - 3], P[2; - 1] . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .A. B [5; 3]B. C [- 3; - 1]C. A [- 1; - 5]D.Cả A, B, C đều đúngLời giải:uuuuruuuruuuur uuurBài 1.92: Ta có MN [- 3; - 4], PA [xA - 2; y A + 1], MN = PA Þ A [- 1; - 5]N là trung điểm AC suy ra C [- 3; - 1]M là trung điểm BC suy ra B [5; 3]Bài 1.93: Cho tam giác ABC có A [3; 4], B [- 1; 2], C [4;1]. A' là điểm đối xứng của A quaB, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A.a] Tìm tọa độ các điểm A', B', C'A. A ' [- 5; 0]B. B ' [9; 0]C. C ' [2; 7 ]D.Cả A, B, C đều đúngb] Chứng minh các tam giác ABC và A ' B ' C ' có cùng trọng tâm.Lời giải:Bài 1.93: a] A' là điểm đối xứng của A qua B suy ra B là trung điểm của AA' do đó//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiA ' [- 5; 0]. Tương tự B ' [9; 0], C ' [2; 7 ]æ 7öb] Trọng tâm của tam giác ABC và A ' B ' C ' có cùng tọa độ là çç2; ÷÷÷çè 3 ø DẠNG 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích mộtvectơ qua hai vectơ không cùng phương.1. Phương pháp.urrurr r r• Cho u = [ x; y] ; u ' = [ x '; y '] . Vectơ u ' cùng phương với vectơ u [ u ¹ 0 ] khi và chỉìï x ' = kxkhi có số k sao cho ïíïïî y ' = kyurrx' y'Chú ý: Nếu xy ¹ 0 ta có u ' cùng phương u Û=xyrrr• Để phân tích c [c1 ; c2 ] qua hai vectơ a [a1 ; a2 ], b [b1 ; b2 ] không cùng phương, ta giảrrrìï a x + b1 y = c1sử c = xa + yb . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình ïí 1ïïî a2 x + b2 y = c22. Các ví dụ.rrrVí dụ 1: Cho a = [1; 2], b = [- 3; 0] ; c = [- 1; 3]a] Khẳng định nào sau đây đúngr rA. hai vectơ a ; b không cùng phươngr rB. hai vectơ a ; b cùng phươngr rC. hai vectơ a ; b song songr rD. hai vectơ a ; b ngược chiềurr rb] Phân tích vectơ c qua a ; br2r 5rA. c = - a + b39r 1r 4rB. c = a + b39//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảir 2r 5rD. c = a + b39r 4r 7rC. c = a + b39Lời giải:a] Ta cór- 3 0 r¹Þ a và b không cùng phương12rrrrrb] Giả sử c = xa + yb . Ta có xa + yb = [x - 3 y; 2 x]ìïïìï x - 3 y = - 1 ïï x =ïÛ íSuy ra íïïî 2 x = 3ïïïï y =ïî2rrr3 Þ c = 2 a+ 5 b5399urr rurVí dụ 2: Cho u = [m2 + m - 2 ; 4] và v = [ m; 2] . Tìm m để hai vecto u , v cùng phương.A. m = 1 và m = 2B. m = - 1 và m = - 2C. m = - 1 và m = 3D. m = - 1 và m = 2Lời giải:urur+ Với m = 0 : Ta có u = [- 2; 4] ; v = [0; 2]Vìur ur02nên hai vectơ u ; v không cùng phương¹- 2 4ur ur+ Với m ¹ 0 : Ta có u ; v cùng phương khi và chỉ khim2 + m - 2 4= Û m2 - m - 2 = 0 Ûm2ém = - 1êêm = 2ëVậy với m = - 1 và m = 2 là các giá trị cần tìm.Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A[6; 3], B[- 3; 6], C[1; - 2] .a] Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác.b] Xác định điểm D trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng.//dethithpt.com Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li giiA. D [15; 0]C. D [6; 0]B. D [1; 0]D. D [5; 0]c] Xỏc nh im E trờn cnh BC sao cho BE = 2ECổ 1 1ửA. E ỗỗ- ; ữữỗố 3 3 ữứổ 1 2ửB. E ỗỗ- ; ữữữỗố 3 3 ứổ 1 2ửC. E ỗỗ- ; - ữữỗố 3 3 ữứổ1 2 ửD. E ỗỗ ; ữữỗố 3 3 ữứd] Xỏc nh giao im hai ng thng DE v ACổ 7 1ửA. I ỗỗ- ; ữữỗố 2 2 ứữổ3 1 ửB. I ỗỗ ; - ữữỗố 2 2 ứữổ7 1 ửC. I ỗỗ ; ữữữỗố 4 2 ứổ7 1 ửD. I ỗỗ ; ữữữỗố 2 2 ứLi gii:uuuruuuruuuruuur- 93a] Ta cú AB [- 9; 3], AC [- 5; - 5] . Vỡsuy ra AB v AC khụng cựng phngạ- 5 - 5Hay A, B, C l ba nh mt tam giỏc.b] D trờn trc honh ị D [x; 0]uuuruuurBa im A, B, D thng hng suy ra AB v AD khụng cựng phnguuurx- 6 - 3Mt khỏc AD [x - 6; - 3] do ú=ị x = 15- 93Vy D [15; 0]uuruuurc] Vỡ E thuc on BC v BE = 2EC suy ra BE = 2 ECuuruuurGi E [x; y] khi ú BE[x + 3; y - 6], EC [1 - x; - 2 - y]ỡù x + 3 = 2 [1 - x]Do ú ùớùù y - 6 = 2 [- 2 - y]ùợổ 1 2ửVy E ỗỗ- ; ữữữỗố 3 3 ứỡùùù x = - 13ùớùù2ùù y =3ùợ//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảid] Gọi I [x; y] là giao điểm của DE và AC.uuruuur æ 46 2 ö3 [x - 15] 3yDo đó DI [x - 15; y], DE ççcùngphươngsuyra; ÷=Þ x + 23 y - 15 = 0÷÷çè 3 3 ø- 462[1]uuruuurx- 6 y- 3AI [x - 6; y - 3], AC [- 5; - 5] cùng phương suy ra=Þ x - y - 3 = 0 [2]- 5- 5Từ [1] và [2] suy ra x =71và y =22æ7 1 öVậy giao điểm hai đường thẳng DE và AC là I çç ; ÷÷÷çè 2 2 ø3. Bài tập luyên tập.Bài 1.94. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A [1; - 2], B [0; 3], C [- 3; 4] vàD [- 1; 8] .a] Bộ ba trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàngA. A, B, D thẳng hàngB. A, B,C thẳng hàngC. A, C, D thẳng hàngD. C, B, D thẳng hànguuuruuurb] Chứng minh AB và AC không cùng phươnguuuruuuruuurc] Phân tích CD qua AB và ACuuuruuuruuurA. CD = 2 AB - 2 ACuuuruuur uuurB. CD = 2 AB - ACuuuruuur uuurC. CD = 3 AB - ACuuuuuruuuruuur 1D. CD = 2 AB - AC2Lời giải:Bài 1.94: a] A, B, D thẳng hàng//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiuuuruuuruuur- 1 5 uuurAC không cùng phươngb] AB [- 1; 5], AC [- 4; 6] . Vìvà¹ Þ AB- 4 6uuuruuuruuuruuurc] CD [2; 4]. CD = xAB + yAC Ûìï - x - 4 y = 2ïíÛïïî 5x + 6 y = 4uuuruuur uuurìï x = 2ïíÞ CD = 2 AB - ACïïî y = - 1Bài 1.95. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A [0;1], B [1; 3], C [2; 7 ] và D [0; 3] .Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BDæ 2 öA. I çç- ; 3÷÷çè 3 ø÷æ1öB. I çç ; - 3÷÷÷çè 3øæ4öC. I çç ;13÷÷÷çè 3øæ2 öD. I çç ; 3÷÷çè 3 ø÷Lời giải:uuur uuuruur uuurBài 1.95: Gọi I [x; y] là giao điểm AC và BD suy ra AI ; AC cùng phương và BI ; BDcùng phươngMặt khácuuruuurx y- 1AI = [ x ; y - 1], AC = [2 ; 6] suy ra =Û 6 x - 2 y = - 2 [1]26uuruuur2BI = [ x - 1; y - 3], BD = [- 1; 0] suy ra y = 3 thế vào [1] ta có x =3æ2 öVậy I çç ; 3÷÷ là điểm cần tìm.èç 3 ø÷rrBài 1.96. Cho a = [3; 2], b = [- 3;1]rra] Chứng minh a và b không cùng phươngrrrr rrr rb] Đặt u = [2 - x]a + [3 + y]b . Tìm x, y sao cho u cùng phương với xa + b và a + b .ìï x = 2ìï x = 1A. ïíhoặc ïíïïî y = 3ïïî y = - 2ìï x = 2ìï x = - 1B. ïíhoặc ïíïïî y = - 3ïïî y = - 2ìï x = - 2ìï x = 1C. ïíhoặc ïíïïî y = 2ïïî y = 3ìï x = 2ìï x = 1D. ïíhoặc ïíïïî y = - 3ïïî y = - 2//dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giảiLời giải:rBài 1.96: b] Ta có u = [- 3x - 3 y - 3; - 2 x + y + 7]r rr rxa + b = [3x - 3; 2 x + 1], a + b = [0; 3]r rrr ru cùng phương với xa + b và a + b khi và chỉ khi có sô k , l sao chorr r rr ru = k xa + b , u = l a + b[][]ìï - 3x - 3 y - 3 = k [3 x - 3]ïïïï - 2 x + y + 7 = k 2 x + 1[]Do đó ïíïï- 3x - 3 y - 3 = 0ïïïïî- 2 x + y + 7 = 3lìï x = 2ìï x = 1Suy ra ïíhoặc ïíïïî y = - 3ïïî y = - 2Bài 1.97. Cho tam giác ABC có A[3; 4], B[2;1], C[- 1; - 2] . Tìm điểm M trên đườngthẳng BC sao cho SABC = 3SABMA. M1 [1; 2], M2 [4; 2]B. M1 [- 1; 2], M2 [- 3; - 2]C. M1 [1; 2], M2 [3; - 2]D. M1 [1; 0], M2 [3; 2]Lời giải:uuuruuurBài 1.97: Ta có SABC = 3SABM Û BC = 3BM Þ BC = ± 3 BMuuuruuurGọi M [x; y] Þ BM [x - 2; y - 1]; BC [- 3; - 3]ìï - 3 = 3 [x - 2] ìï x = 1ìï - 3 = - 3 [x - 2] ïì x = 3Û ïíÛ ïíSuy ra ïíhoặc ïíïï - 3 = 3 [y - 1] ïïî y = 0ïï - 3 = - 3 [y - 1] îïï y = 2ïîïîVậy có hai điểm thỏa mãn M1 [1; 0], M2 [3; 2]Bài 1.98. Cho ba điểm A[- 1; - 1], B[0;1], C[3; 0]