Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi [I], [K] theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
- Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: [I] và [O]; [K] và[O]; [I] và [K].
- Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
- Chứng minh đẳng thức \[AE.AB = AF.AC\]
- Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [I] và [K]
- Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Lời giải:
- \[OI = OB – IB\] nên [I] tiếp xúc trong với [O]
\[OK = OC – KC\] nên [K] tiếp xúc trong với [O]
\[IK = IH + KH\] nên [I] tiếp xúc ngoài với [K]
- Vì \[HE \bot AB\] [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\]
Tương tự có \[\widehat {AFH} = {90^0}\] [ do \[HF\bot AC\]]
Và \[\widehat {BAC} = {90^0}\] [do A thuộc đường tròn đường kính BC]
Tứ giác AEHF có \[\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\] nên là hình chữ nhật [Dấu hiệu nhận biết]
- ∆ABH vuông tại H, HE là đường cao nên \[AH^2 = AE. AB\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \[AH^2 = AF. AC\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
Do đó \[AE. AB = AF. AC\] [vì cùng bằng \[AH^2\] ]
- Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: \[ME = MF = MH = MA\] [do tứ giác AEHF là hình chữ nhật]
Xét ∆MEI và ∆MHI có:
\[ME = MH, IE = IH [=R]\], MI [cạnh chung]
Do đó \[∆MEI = ∆MHI\] [c.c.c]
\[\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\] [2 góc tương ứng]
mà \[\widehat {MHI} = {90^0}\] [do \[AD\bot BC\]] nên \[\widehat {MEI} = {90^0}\]
⇒ \[ME \bot EI\] tại E mà IE là bán kính đường tròn [I]
⇒ ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn [I]
Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn [K]
Hoặc ta chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn [K] như sau:
Vì \[MF=MH\] [cmt] nên tam giác MFH cân tại M ⇒ \[\widehat {MHF}=\widehat {MFH}\] [*] [tính chất]
Vì \[KH=KF\] [= bán kính đường tròn [K]] nên tam giác KFH cân tại K
⇒ \[\widehat {KHF}=\widehat {KFH}\] [**] [tính chất]
Từ [*] và [**] ta có: \[\widehat {MHF}+\widehat {KHF}=\widehat {MFH}+\widehat {HFK}\]
Hay \[\widehat {KFM}=\widehat {MHK}=90^0\] [do \[AH\bot BC\]]
⇒ \[MF\bot FK\] tại F mà KF là bán kính đường tròn [K] nên EF là tiếp tuyến của đường tròn [K]
- Cách 1:
Ta có \[EF = AH\] [vì AEHF là hình chữ nhật] mà \[AH ≤ AO \] [=bán kính đường tròn [O]=R]
Do đó \[EF ≤ R\], \[R\] không đổi. Dấu “=” xảy ra \[⇔ H ≡ O\]
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Cách 2 câu e:
Xét đường tròn [O] có BC là đường kính và AD là dây cung mà \[AD\bot BC\] tại H nên H là trung điểm của AD [định lý]. Suy ra \[AH=\dfrac{AD}2\]
Ta có \[EF = AH\] [vì AEHF là hình chữ nhật]
⇒ \[EF=AH=\dfrac{AD}2\]
Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD lớn nhất là đường kính.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Bài 42 trang 128 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho hai đường tròn [O] và [O’] tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ [O], C ∈ [O’]. Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng
- Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
- ME.MO = MF.MO’
- OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
- BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.
Lời giải:
- \[MA, MB\] là các tiếp tuyến của đường tròn [O] [gt].
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \[MA = MB\], MO là tia phân giác \[\widehat {AMB}\]
Ta có: \[∆MAB\] cân tại \[M [do\,MA = MB]\] nên MO là đường phân giác đồng thời là đường cao
\[\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\]
Lại có \[MA, MC\] là các tiếp tuyến của đường tròn [O'] [gt].
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \[MA = MC\], MO’ là tia phân giác góc \[\widehat {AMC}\]
Ta có: \[∆MAC\] cân tại \[M [do\,MA = MC]\] nên MO' là đường phân giác đồng thời là đường cao
\[\Rightarrow MO' \bot AC \Rightarrow \widehat {MFA} = 90^0\]
Vì \[MO, MO’\] là tia phân giác của hai góc kề bù \[\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\] [hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau]
Vì \[\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\] nên tứ giác AEMF là hình chữ nhật [ Tứ giác có 3 góc vuông]
- \[∆MAO\] vuông tại A có AE là đường cao nên \[ME. MO = MA^2\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
\[∆MAO'\] vuông tại A có AF là đường cao nên \[MF. MO’ = MA^2\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
Do đó, \[ME. MO = MF. MO’ [= MA^2]\]
- Theo câu a] ta có \[MA=MB\] và \[MA=MC\]
⇒ \[MA = MB = MC=\dfrac{BC}2\] nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà \[OO’ ⊥ MA\] tại A.
Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
d]
Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đường kính là OO’
Tam giác OMO' vuông tại M [do theo câu a có \[\widehat {EMF}=90^0\] hay \[\widehat {OMO'}=90^0\] ] có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OO' nên \[KM=\dfrac{1}2OO'\] [tính chất]
Như vậy, đường tròn tâm K đường kính OO' có bán kính KM.
Ta có \[OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC \] [do BC là tiếp tuyến] \[⇒ OB // O'C.\]
⇒ Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.
Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \[⇒ KM // OB\]
Mà \[OB ⊥ BC\] nên \[KM ⊥ BC\]
Ta có \[BC ⊥ KM\] tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’.
Bài 43 trang 128 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho hai đường tròn[O; R] và [O’; r] cắt nhau tại A và \[B [R > r]\]. Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm [O; R] và [O’; r] theo thứ tự tại C và D [khác A].
- Chứng minh rằng AC = AD.
- Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB
Lời giải:
- Vẽ OM ⊥ AC tại M, O’N ⊥AD tại N.
Xét đường tròn [O], vì \[\displaystyle OM \bot AC \Rightarrow MA = MC = {{AC} \over 2}\] [định lý đường kính vuông góc với dây]
Xét đường tròn [O'], vì \[\displaystyle O’N ⊥AD \Rightarrow NA = N{\rm{D}} = {{A{\rm{D}}} \over 2}\] [định lý đường kính vuông góc với dây]
Mặt khác, ta có \[OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD\]
\[⇒ OM // IA //O’N.\]
Suy ra tứ giác OMNO' là hình thang.
Hình thang OMNO’ có \[IA // OM//O'N; IO = IO’\] nên \[MA = NA\] [đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và đi qua trung điểm 1 cạnh bên thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại]