Đề thi toán cao cấp a1 đại học nông lâm năm 2024

SAU MỘT THỜI GIAN DÀI GIÁN ĐOẠN, HÔM NAY TRANG ĐÃ HOẠT ĐỘNG TRỞ LẠI VÀ LẠI HẠI HƠN XƯA. KK

CÁC BẠN CÓ TÀI LIỆU XIN GỬI VỀ [email protected]

WEBSITE MỞ THÊM CHUYÊN MỤC TONY BUỔI SÁNG ĐỂ MỌI NGƯỜI CÙNG ĐỌC.

Từ khóa tìm kiếm nên ngắn gọn,trọng tâm có dấu như "toán a2", "vật lý a1",.... thay vì gõ "đề thi môn toán b2 thầy đăng thành danh nông lâm", "de thi vat ly a2 hoc ky 2012-2013", .... sẽ không cho ra kết quả tìm kiếm. Bạn cũng có thể tìm kiếm chính xác hơn bằng cách vào http://google.com => gõ "dethinonglam.wordpress.com [từ khóa] ". Ví dụ: "dethinonglam.wordpress.com de thi toan b2"

Uploaded by

Nguyễn Hoàng Bảo Trung

0% found this document useful (0 votes)

131 views

6 pages

Copyright

© Attribution Non-Commercial (BY-NC)

Available Formats

PDF, TXT or read online from Scribd

Share this document

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Download as pdf or txt

0% found this document useful (0 votes)

131 views6 pages

Đề thi toán cao cấp A1

Uploaded by

Nguyễn Hoàng Bảo Trung

Download as pdf or txt

Jump to Page

You are on page 1of 6

Search inside document

Reward Your Curiosity

Everything you want to read.

Anytime. Anywhere. Any device.

No Commitment. Cancel anytime.

Đề thi toán cao cấp a1 đại học nông lâm năm 2024

Đề thi toán cao cấp a1 đại học nông lâm năm 2024

Nội dung Text: Giải bài tập Toán cao cấp A1 - ĐH Nông Lâm

  1. ĐẠI HỌC NÔNG LÂM KHOA KHOA HỌC ---  --- GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A1 death happiness Life   time birth time BIÊN SOẠN: BBT ĐỀ THI NÔNG LÂM - LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 - --
  2. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Câu 6. Tính các giới hạn sau  n   n   4.   3    4.   3   4 n 1  3 n 4.4 n  3 n 4.4 n  3 n 4 n   4      4   6 a). lim    lim  lim 4 x  2 2 n  3 n 1 lim x  3n lim x  3n x  4n  3n  x   3n  4  n 4  n 1   n  1   n  3 3  3.4   3.4   2n  1 3 n 4  n 2  1  2n  1 3 n4  n2 1 6 b). lim     lim  lim x   n  2 n 1  x n  2 n 1  x   1  1 1  n 2   n 3 n  2  3   lim  n  lim  n n  1 1  2  lim 3 n  2  3  2  0  2 x   2  1 n n n1   x n1   x   n  n 6 c). lim x  n3 n 3  1  n3  1  1   g : A B Ta có: A B  , A B Áp dụng vào ta có:     lim n3 n 3    1  n 3  1  lim n 3  2    lim   x   n 1  n 1  2  1   3 3 x  x  1 1  1  3  1  3   n n  n   1   2  n 1  2   n 1  n 1 2 n   6 d ). lim  2  lim  2 n  lim    0 x   2n  n  1  x   n  2  1  1  x  2    n n 2  Có thể giải bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass) 6 e). n  1sin n 2   0 lim x  n2  2  g :  Giới hạn đã cho có dạng: , Áp dụng Quy tắc L’Hospital ta có:  n  1sin n 2  L  n  1sin n 2     sin n 2   2n. cos n 2 n  1 lim lim lim x  n2  2 x  n 2  2 x  2n L  lim        2n. cos n 2  2 cos n 2 n  1  4n 2 sin n 2 x  2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 1 -
  3. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 6 f ). lim  x  n 2 1  0  Do lim  2   1 x  n Vì lim  a   1 x  n 6 g ). lim  x  n n 1   g : Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC”   n  1  lim n  1 n   1 Đặt A  lim n 0 x  x  Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có:   1   ln n  1   ln( A)  ln lim n  1 n  lim  ln n  1  lim  1   L   x  x  n  x   n    1  ln n  1 n  1 1 xlim  n  lim x  1  lim x  n  1  0, Vậy ln( A)  0  A  1 Cách 2: Với mọi giá trị: n  1 ta có: n n  n n  1  n 2n Mà lim  n   1 x  n Trang 20 Giáo Trình Toán CC A1 ĐHNL Mặc khác ta có: lim    2 .lim  n   1 lim  2   1;Và lim  n   1   Mà n 2n  lim n n  Do n n x  x  x   x  x  Vậy ta có Mà lim  n  1  1 x  n 1 1 1 1  1 6 h). lim 1.3  3.5  5.7  ...  2n  1)2n  1  2 x   g : 1 1 1 1  1 1  1    1  1   ...   1  1  lim 1.3  3.5  5.7  ...  2n  1)2n  1  lim        2 n  1 2n  1   x  x  2  3   3 5  1 1  1   1 lim   x  2  2n  1  2 6 i). lim n  x  3 1  n3  0   g : A3  B 3 Ta có Công thức liên hợp (hiệp): A  B  , Ta có: A 2  AB  B 2   lim n  3 1  n3   lim   n3  1  n3    0 x  x   2  n  n 3 1  n 3  3 1  n 3 2   ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 2 -
  4. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  1 1  1 6 j ). lim    ...   1 x   n  1 n2  2 n2  n  2  g :  1 1 1  lim  2   ...   x   n  1    2 2 n 2 n n  1 1 1 Với n  1 , Ta có:   ...  Cho nên: n2 1 n2  2 n2  n 1 1 n   n n2  n n2 1 1 1  1 1 1  Mà lim  lim 1 nên lim    ...   1 x  n2  n x  n2 1 x   n  1 2 n2  2 n2  n  Câu 8. Tính các giới hạn sau 3n 8 a). lim 0 x  n!  g : Do: n! Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 3 n khi n   n3 8 b). lim 0 x  3n  g : Cách 1: Do: 3 n Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với n 3 khi n    Cách 2: Giới hạn đã cho có dạng , Dùng quy tắc L’Hospital ta có:     n 3 L'  3n 2 L '  6n L'  6  lim n 3  0 6 lim x  3n    lim x  1.3 . ln 3 n lim n  x  1.3 . ln 3 . ln 3 lim  x  1.3 . ln 3 . ln 3 n 2  x  3 . ln 3 2n 8 c). lim 0 x  n!  g : Do: n! Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 2 n khi n   Câu 11. Tính các giới hạn sau x2 1 22  1 3 11 a). lim  2  1 x 2 x  2 x  3 2  2.2  3 3 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 3 -
  5. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Do thế vào không có dạng vô định x2  2 x2  2 1 1   lim 2     11 b). lim lim x 2 x  x  2 x 2 x  1 x  2 4 2 2 2 x 2 x  1 3  g :  g cách 1: (Dùng ’Hosp tal)  x  2 L' 2  lim x 2  2  lim 3 2x  lim 2 1  1 lim x 2 x  x  2 x 2 x 4  x 2  2 4 2  x 2 4 x  2 x x 2 2 x  1 3  g cách 2: (Phân tích thừa số khử) Ta thấy x  2 là nghiệm của tử và mẫu, vậy ta có: x2  2 x2  2 1 1   lim 2  lim x 2 4 2 lim x  x  2 x 2 x  1 x  2 2 2  x 2 x  1 3     Do có dạng vô đinh nên phải tiến hành biến đổi rồi khi hết dạng ta mới thế giá trị vào   3 x6 2 11 c). limx 2 x3  8  g :  g cách 1: 3 x6 2 x2 lim  lim x 8  x 2  x  2  x 2  2 x  4  3 x  6    23 x  6  4 3 2 x 2   1 1  lim  x 2 x 2    2 x  4  3 x  6  23 x  6  4   2 144  g cách 2: (Dùng ’Hosp tal) 3 x6 2 0 Nhận thấy lim có dạng vô định   vậy có thể dùng được ’Hosp tal x  2 x 8 3 0 1 3 x  6  2 L  3  x6 2    3.3 x  6 2  1 / 12  1 lim lim  lim x 8 x 3  8 3 2 x  2 x  2 x 2 3x 12 144 Với     x  6  x  6 3 1/ 3    .x  6 .x  6 1 3 1 / 31     Công thức tổng quát: u    .u  .u   1 3 8  3x  2 0  11 d ). lim   L  x 0 4 16  5 x  2 0  ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 4 -
  6. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1 / 3. 8  3x 1 / 31 .3  8  3x 2 / 3  3 8  3x 2  lim lim lim x  0 1 / 4 16  5 x  x  0 5 / 4 16  5 x  1 / 4 1 3 / 4 .5 x  0 5 / 4. 1 4 16  5 x 3 4 4 16  5 x  3 4 4 16 3 8  lim .  lim .  x 0 5 3 8  3 x  x 0 5 5 2 3 82 Câu 12. Tính các giới hạn sau sin ax  sin bx 12 a). lim , a  b  x 0 tan x  g cách 1: (Dùng ’Hosp tal) sin ax  sin bx L  cos ax .a  cos bx .b  a  b lim x 0 tan x lim x 0 1 cos 2 x  g cách 2a: dùng tương đương  ax  bx   ax  bx  2. cos . sin   sin ax  sin bx  2   2  lim  lim  x 0 tan x x 0 tan x  ax  bx  ax  bx Do lim tan x ~ x x 0 và lim sin x 0 2  ~ 2  Trở thành  ax  bx   ax  bx   ax  bx   ax  bx   ax  bx  2. cos . sin   2. . cos  xa  b  cos   2   2   2   2   2  lim x 0 tan x lim x 0 x lim x 0 x  ax  bx   ax  bx   lim a  b . cos   a  b Vì lim cos  1 x 0  2  x 0  2   g cách 2b: dùng tương đương Ta có : sin u ~ u khi u  0 ; tan x ~ x khi x  0 , Vậy giới hạn đã cho trở thành sin ax  sin bx ~  ax  bx lim  lim  lim a  b   a  b x 0 tan x x 0 x x 0 x2 x tan x  sin x tan x1  cos x  2 1 12 b). lim 3  lim  lim x 0 x x 0 x3 x 0 x 3 2 x2 Do tan x ~ x và 1  cos x  ~ 2  x  12 c). lim 1  x  tan 2  x 1   g cách 1: Đặt ẩn phụ Đặt t  x  1 Khi x  1 thì t  0 Khi đó  trở thành ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 5 -
  7. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục     cos 2 t              lim  t   tan t  1  lim  t    cot  t   lim t  cot  t   lim t      t 0  2  t 0   2  t 0   2  t 0     sin  2 t        Do sin t  ~ t Khi t  0 2  2              cos 2 t    cos 2 t    cos 2 t   cos 0 2  lim t       lim t       lim       t 0    t 0  t  t 0       sin  2 t   t  2   2        2  x  lim 1  x  tan 2    2 Vậy x 1  g cách 2: (Biến đổ + Dùng ’Hosp tal) lim 1  x  tan x  0. VĐ  x 1  2  lim 1  x . 0. VĐ  1 x 1  x  cot    2 lim 1  x  0   x 1  VĐ  L' Hospital   x  0  cot    2 L 1 2  lim  x 1  1   2 x    sin .  2 2 1  cos x. cos 2 x. cos 3x 1 1 cos x  cos 3x . cos 3x 12 d ). lim  lim 2 x 0 x2 x 0 x2 1  cos 2 x  cos 4 x  1  cos 6 x  1  cos 2 x   1 1  cos 4 x   1 1  cos 6 x  1 1 1 1  lim 4 4 4  lim 4 4 4 2 2 x 0 x x 0 x 1 9  2  7 2 7 Câu 13. Tính các giới hạn sau 2 x 3  x 1  13 a). lim   x   x  2   g : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 6 -
  8. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC” 2 x 3  x 1  Đặt A  lim   1   x   x  2  Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có:   x 1  2 x 3    x  1  ln( A)  ln lim    lim 2 x  3 ln    x  x  2   x   x  2  1 Đặt t  ; Khi x  , t  0 x Vậy ta có giới hạn đã cho tương đương với  1    1  t     1       x  1  2  t  2  3t   t  lim 2 x  3 ln  x  2   lim  t  3  ln  1    lim   ln t   1  2t   x     t 0    t 0   2     t    t   2  3t   1  t   2  3t   1  t   2  3t  1  t   lim   ln    lim   ln   1  1  lim    1 t 0  t   1  2t  t 0  t   1  2t  t 0  t  1  2t   2  3t  3t  6t  9t 2 0   lim     lim   L' Hospital  t 0  t  1  2t  t 0 t  2t 2 0  L' 6  18t  lim 6 t 0 1  4t Vậy ln( A)  6  A  e 6 Cách 2: Giải nhanh từ Công thức suy ra cách 1 như sau: lim   x  f  x 1 lim f x   e x x a  eA x a Vậy áp dụng CT ta có: 2 x 3   x 1    6 x 9   2 x 3 1    x 1    lim  x 2     lim  x    x 2   lim   e x  e  e6 x  x  2  x  x2  x 1 13 b). lim   x   x 2  1   g : Áp dụng công thức như trên ta có: x   x 2  x 1     x2    x  x 1 2   lim x x 2 1 1       lim    2   x   x 1   lim    e x   e e x  x 2  1  ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 7 -
  9. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục lim cos 2 x  1/ x2 13 c). x 0  g : Áp dụng công thức như câu trên ta có:   1 cos 2 x1    12 sin 2  x 1     2 sin2 x   lim lim lim   2 2 2      x2  e e e 1/ x x 0 x x 0 x x 0 lim cos x0 2 x  sin2 x  2  lim   x 2  e x 0  e 2 Do Khi x  0 sin x ~ x ln cos x  ln 1  cos x  1 cos x  1  x2 1 1 13 d ). lim 2  lim 2  lim 2  lim 2  lim  x 0 x x 0 x x 0 x x 0 2 x x 0 2 2  x2 Do Khi x  0 ln 1  cos x  1 ~ cos x  1;Và cos x  1 ~ 2 e ax  e bx 13 e). lim , a, b  0 và a  b x 0 x  g : e ax ebx e ax  1 1  e bx  lim lim  x  x   x 0 x x 0 Ta có:  e ax  1  e ax  1  1  e bx  1  e bx  lim     a  a     b  b x  lim lim x  lim và x 0  x 0  ax  x 0  x 0  bx  e ax  e bx Vậy lim  a b x 0 x  1    sin x cos x 1    lim sin xcos x1  lim    f ). lim sin x  cos x 1/ x e  x 0 x  e  x 0  x x   x0 Mà ta có:  2   2   sin x   sin2 x   sin2 x   cos x 1   2 .  x    0 Do  2 . 1 Và lim    1 Và lim   lim  x2  lim  x2  lim  x   0 x 0  x  x 0  x  x 0 x 0 x 0      2   2  Vậy lim sin x  cos x 1/ x e x0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 8 -
  10. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục sin x  sin x  x sin x 13 g ). lim   x 0  x   g : sin x 1 x Xét lim  lim  , Do 1  0 x 0 x  sin x x sin x x 0 1 sin x Giới hạn đã cho có dạng vô định: 1 , Ta có: sin x  sin x  x  sin x x  x 1   sin x  xsin x lim   xsin x lim   x  xsin x 1   e x 0  e x 0   e 1  x lim x0  x  e Câu 14. Tính các giới hạn sau x 2  2x  3 14 a). limx 1 x2 1  g cách 1: Xét dấu Ta thực hiện xét dấu để “Phá dấu trị tuyệt đối” X -3 1 x2 +2x - 3 + 0 - 0 + Nhận xét: 1- giá trị của hàm số “âm” nên ta có: x 2  2x  3  lim   x 2  2x  3  lim   x  1x  3  lim  x  3  2 lim x 1  x 1 2  x 1 x 1 2 x 1 x  1x  1 x1 x  1  g cách 2: Biến đổi x  2x  3 2 x  1x  3 x  1. x  3 lim  lim  lim x 1 x 1  x  1 x  1 x  1x  1 2 x 1 x 1 Do x  1 nên x  1 âm  x  1. x  3  x  3 4  lim  lim   2 x 1 x  1x  1 x 1 x  1x  1 2  14 b). lim arctan x  2 x  Dựa vào đồ thị của hàm arctanx ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 9 -
  11. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục   tan x    4 14 c). lim   4x   x 4  g cách 1: Dùng định lý kẹp       Chú ý: x  Có nghĩa là x  và x  . Cho nên khi x  thì x  0 4 4 4 4 4     Vậy ta có: tan x    tan x   . Khi đó giới hạn đã cho trở thành:  4  4       tan x   tan x   tan x    4  lim 1  4 1  ; Do  4 1 lim  4x    4  4  x x x x 4 4 4 4  g cách 2: (Dùng ’Hosp tal)   tan x    4 0  lim  VĐ  L' Hospital   4x   0  x 4  g cách 3: (Đặt ẩn phụ + tương đương)      t  x khi x  t 0 ( ngầm hiểu: x  là x  ) 4 4 4 4   tan x    4 tan t 0  lim  lim  VĐ    4x    4t  0  x x 4 4 ~  ~   lim t 4t  lim t 4t Do t  0    x x 4 4 1  4 Câu 15. Tính các giới hạn sau 3 x 1 15 a). lim x 0  x  g cách 1: 3 x 1 0  lim  ,VĐ  x 0  x 0  3 x . ln 3. 1 L 3 x . ln 3.  . ln 3.   . ln 3 .      2 x 1 1 1 1  lim  lim x 0  1 x 0  2 2 x 2 0 2  g cách 2: ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 10 -
  12. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1  e x ln 3  1 ln 3  x ln 3  1 ln 3 x x 3 e3 e . lim  lim  lim      Do  1,   x 0  x x 0  x  x ln 3 x 0   x  x ln 3 x e 1 Công thức: lim  1 , ở bài này   x ln 3  0  2 x  cos x o  15 b). lim  ,VĐ  L' Hospital  x 0 x 0   g : Bài này có 2 cách gi như sau:  g cách 1: Sử dụng ’Hosp tal L 2 x . ln 2  sin x   ln 2 1  g cách 2: Dùng tương đương 2 x  cos x  2 x  cos x  1  1  2 x  1  1  cos x lim x 0 x lim x 0 x lim x 0 x 2 x ~  x ln 2  2   x  lim lim  ln 2    ln 2 x 0 x x 0  2 Chú ý công thức: ax -1 ~ x.lna ; 1 – cosax ~ ax 2 2  x  arcsin     1 x  0  2 15 c). lim  ,VĐ  x 0 ln 1  x   0   g : Bài này có 2 cách gi như sau:  g cách 2: Dùng tương đương  x  x arcsin     1  x  ~  2 1 x2  1   lim lim  lim    1 x 0 ln 1   x  x 0  x   x 0  1 x2    g cách 3: Sử dụng ’Hosp tal 1. 1  x 2   2 x   1 x2  x     1 x2  x  2 1 x 2  1 x2    L  lim 1 x2  lim  1 x2  2   1  x . 1  x 2   x 0 1 x 0  1  lim x 0  1      1 x  1 x   1 x     lim   1  x  1  x 2  x    1 . Cách này rất lâu và dễ sai xót. Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa  1 x . 1 x x 0  2  2   chọn phương pháp phù hợp. ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 11 -
  13. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục arctan x 2 0  15 d ). lim  ,VĐ  x 0  x  0  arcsin  . sin 2 x 2  g cách 1: Dùng ’Hosp tal “Dà ” nên hạn chế gi i  g cách 2: Dùng tương đương arctan x 2 ~  x2 x2 x2 lim  lim  lim  lim 1 x 0  x x 0  x  x 0 2 x 2 x 0 x 2 arcsin  . sin 2 x  .2 x 2 2 2 1  cos 2 x 0  15 e). lim 2 sin  ,VĐ  x 0 2 x  2 x. tan 3x 0   g cách 1: Dùng tương đương 2 x 2 ~  2x 2 2x 2 1  lim 2   lim 2  x 0 2 x 2  2 x.3x lim x 0 2 x  6 x 2 2 x 0 8 x 4  g cách 2: Sử dụng ’Hosp tal (Cách này lâu ) 1 x 0  15 f ). lim  ,VĐ  L' Hospital  x 1 lg x  0  L 1  lim   ln 10 x 1 1 x. ln 10  Chú ý công thức: log a x   1 x. ln a arcsin 2 x  1 0  15 g ). lim  ,VĐ  x 1 4x 2  1 0  2  g : Đặt ẩn phụ + Dùng tương đương Đặt t  2 x  1  Khi x  1 / 2, t  0 ; 4 x 2  1  2 x   1  2 x  12 x  1  2 x  1  12 x  1  t  1.t 2 Vậy ta có: arcsin 2 x  1 arcsin t  ~  t 1 lim1 4 x 2  1  lim  lim  lim 1 x t 0 t  1.t t 0 t  1.t t 0 t  1 2 15 h). lim x . ln x 0 1 1 x 1 x x 0 x 1   x 0 1 1 x 2 1 2   lim ln 1  x  ln 1  x lim  ln 1  x   ln 1  x   ln 1  x   ln 1  x  x   x  2x xlim 0 2x  lim x 0 2x  lim x 0 2x 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 12 -
  14. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục lim sin x  cos x  2 x 1  1  15 j ). VĐ x 0  g : Đặt A  lim sin x  cos x  2 x  1  1  VĐ x 0 Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có:   1   ln sin x  cos x  2 0  ln( A)  ln lim sin x  cos x  2 x  lim  ln sin x  cos x  2 lim  1    L   x0  x  x  x0  x 0  Đến đây có 2 cách g i: Cách 1: Dùng Quy tắc L’Hospital (Sẽ ra nhưng lâu)  cos x  sin x   ln sin x  cos x  2      lim  sin x  cos x  2  lim L' cos x  sin x cos x  1  1  sin x xlim    lim 0 x  x 0  1  x0 sin x  cos x  2 x0 sin x  1  cos x   1   2 x  1 x xlim 0 2 x2 1 x 1 2 Vậy ln( A)  1  A  e Cách 2: Dùng tương đương x2 x ln sin x  cos x  2 sin x  cos x  1 2   x lim  lim  lim lim 1    1 x 0 x x 0 x x 0 x x 0  2 Vậy ln( A)  1  A  e lim x  e    1 x x 0 15 k ). VĐ x   g a. Các kiến thức cần nhớ 1 1 Nhớ e      0   Dạng đặc trưng : limux  lũy thừa cơ số hàm : v x  b. Trình tự cách gi i: * B1: Đặt A  limux  , Tìm A v x   * B2: Lấy Loga Nepe 2 vế (Nhớ câu “thần chú”: “lốc của lim = lim của lốc” )  ln A  ln limux v  x   lim lnux v  x   lim vx . lnux   ......  b ( Chú ý trong dấu “….” Tức là biến đổi 1 thời gian để đưa về “=b” ) Vậy ln A  b  A  e b ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 13 -
  15. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục c. Áp dụng gi i bài tập k). : * Đặt A  lim x  e x x , Tìm A 1 x  * Lấy lô-ga Nepe 2 vế:   1  ln A  ln lim x  e x x x   lim 1  ln x  e x  0. VĐ  x  x  lim  ln x  e x   VĐ 0   L' Hospital  x  x  0   .x  e x  1 L  lim x  e  x  lim 1 ex  VĐ    L' Hospital  x  1 x  x  ex    L ex     lim VĐ  L' Hospital  x  1  e x    L e x  lim x  1 x   e * Vậy ln A  1  A  e1  e  1 15 z *). lim  cot x  x  VĐ    x 0  g Mẹo gặp dạng vô định “    ” thường “QUY ĐỒNG” sau đó dung “ ’Hosp tal”  1  cos x 1  x. cos x  sin x   0  lim  cot x  x   lim  sin x  x   lim  x 0 x 0 x 0 x. sin x   VĐ  0  L' Hospital    L  lim x. cos x  sin x   lim 1. cos x  x sin x   cos x   x sin x  0 lim sin x  x. cos x VĐ  x 0 x. sin x  x 0 1. sin x  x. cos x x 0  0 Tới đây có 2 cách để giải: Dùng L’hospital, Hoặc tương đương (VCB tương đương), Để đa dạng phương pháp tôi dung cách tương đương. ~   x.x x 0  lim  lim  0 x 0 x  x. cos x x 0 1  . cos x 11 Câu 16. Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm x0=0  sin x  Khi x  0 16a). f x    x   1 Khi x  0  g 1: Hàm số lien tục tại điểm x0=0 nếu lim f x  f 0 , Mà lim f x  không tồn tại, thật vậy: x 0 x 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 14 -
  16. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục     sin x 1  lim lim  f x f  x    x 0  x 0  x lim f x   lim sin x  1   x 0  x 0   x  Do đó f(x) không tồn tại tại x0 = 0  g 2: ưu ý: Nếu đề cho (x ≠ 0, x = 0 :Thì dùng định nghĩa ), ( Nếu cho x ≥ … , x ≤ … :Thì dùng trái phải )  g chi tiết: Kiểm tra: i). Hàm số f(x) xác định tại x0 vì f(0) = 1,  Xác định  0 ii xét lim f x   lim sin x VĐ,  x 0 x 0 x  0  Ta _ thay lim   f  x   f (0)  x 0    x 0  Ta _ thay     f (0) lim f x x 0    x0  Nhận thấy: Hàm số chỉ liên tục phải tại x = 0 mà không liên tục trái. Kết luận: Hàm số không liên tục tại x0 = 0. 1  cos x     Khi x    ;  \ 0 16b). f x    sin x  2 2 2  1  Khi x  0 4  g : Hàm số liên tục tại điểm x0=0 nếu lim f x   f 0 , Mà ta có: x 0 cos x 1 1  cos x x2 1/ 2 1 lim  lim     2 2 x 0 sin x x 0 sin x 2 4 2 . 1  cos x x f x   1 4 1  cos x lim f x   lim  f 0  1 2 x 0 x 0 sin x 4 Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0=0  g 2:  g chi tiết: Kiểm tra: i). Hàm số f(x) xác định tại x0 = 0 vì f(0)= 1/4 ,  Xác định ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 15 -
  17. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  0 1  cos x ii) xét x 0 x 0 lim f x   lim VĐ  , Giới hạn này có 2 cách giải: L’Hospital hoặc liên  0 sin 2 x hợp, Cách giải sau sử dụng lien hợp sau đó tương đương 1  cos x Liên _ hop 1  cos x lim f x   lim x 0 x 0 sin 2 x  lim sin x.1  x 0 2 cos x  x2 ~  1 1 1  lim 2  lim   x 0  x . 1  cos x 2  x 0 2. 1  cos x  2.1  1 4  ta _ thay  f 0  Thỏa i) và ii) nên hàm số lien tục tại x0 = 0 Câu 17. Tìm giá trị của a (và b, nếu có) để hàm số sau liên tục lien tục tại x0  tan x  Khi x.  2 17a). f x    x  2 , tai x0  2   1 Khi x  2 Hàm số f(x) liên tục tại x0=0, Nếu lim f x  f 0 1 x 0 Ta có f x   a + lim f x  lim a  x  a x 0  x 0   lim f x  lim arctan x   x 1 + x 0  x 0    a  lim f x   lim f x   x 0  x 0  2  Vậy a   thì hàm số liên tục tại x0=0 2  1 arctan  Khi x  0 17b). f x     x , tai x0  0   ax Khi x  0  g : Kiểm tra: i). Hàm f(x) xác định tại x0=0 vì f(0) = a.0 = 0,  Xác định ii). Điều kiện để hàm số lien tục tại x0=0  liên tục phải, liên tục trái tại x0=0  lim f x   lim f x   f 0  x 0  x 0  Ta có:  lim f x  lim a.x  a.0  0 x  0  hay x0  x 0  x 0      1 lim f x   lim arctan x   arctan   2 x  0  hay x0  x 0 x 0  Từ (*)  0  0 (Vô lý) 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 16 -
  18. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục   0   2 (Vô lý)  không có giá trị a nào để hàm số f(x) liên tục tại x0=0   0  0 a Khi x 1  17c). f x   arccos x Khi  1  x  1 Tại x 0  0 và x1  1  xb x 1  Khi  g :  x  cos y  y  arccos x   1  1  1 0  y    Trước hết hàm số ph xác định tại x0 = -1 và x1 = 1  f  1  a xác định và  f 1  0 xác định * Hàm f liên tục tại x 0  1 vừa phải liên tục phải và lien tục trái tại x 0  1 Ta có : f x 0   f  1  a Giới hạn : lim f x  lim x  1   f x   f  1 x  1  (I) Mà : lim f x  lim x  1   arccos x  arccos  1   x  1  Và : lim f x  lim x  1   a  a Thế vào ( I ) x  1  Vậy để hàm liên tục tại x 0  1 thì a =  * Tương tự hám số liên tục tại x 0  1 Ta có : f x1   f 1  0 Và : lim f x  lim x  b  1  b x 1 x 1 Vậy để hàm liên tục tại x 0  1 thì b =  1 Vậy để hàm số liên tục thì a =  và b =  1 Câu 18. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau: x 1 18 a). y  x x2 1    g x 1 x 1 1 y     x x  1 xx  1x  1 xx  1 2 * Tại x0 = 0: lim f x   lim xx  1   1 Kh đó x 0 x 0  x0  0 gọi là điểm gián đoạn vô cực: * Tại x0 = -1: lim f x   lim xx  1   1 Kh đó x 1 x 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 17 -
  19. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Vậy đây là đ ểm g án đoạn loại 2  sin x  Khi x  0 18 b). f x    x   1 Khi x  0  g * Tại x0 = 0: lim f x   lim sin x Kh đó 1 x 0 x 0 x  x0  0 gọi là điểm gián đoạn bỏ được: *Tại x 0  0 : sin x Kh đó các hàm sinx, x đều liên tục tại x0, do đó cũng lien tục tại x0 x x 1 18 c). y  x2 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 18 -
  20. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM 1 BIẾN Câu 2.1 Tính f’(1), f’(2), f’(3) của hàm số f(x) = (x – 1)3(x – 2)2(x – 3) f x   f x0  f x   lim x  x0 x  x0 Gọi x  x  x0  x  x0  x  f x0  x   f x0  x0  x  1 x  2 x  3  x0 3 2 lim  x  x0 x  x0 x  x0 f 1  lim x  13 x  22 x  3  lim x  1 x  2 x  3  0 2 2 x 1 x 1 x 1 f 2  lim x  1 x  2 x  3  3 2 lim x  1 x  2x  3  0 3 x 2 x2 x 2 f 3  lim x  1 x  2 x  3  3 2 lim x  1 x  2 8 3 2 x 3 x2 x 3 Câu 2.2 Tính đạo hàm a). y  2  x  2  x 2 2  x 3  g : Mượn bàn tay của Lô-ga ta có:   ln y  ln 2  x  2  x 2 2  x 3  ln 2  x   ln 2  x 2  ln 2  x 3 = ln 2  x   ln 2  x 2   ln 2  x 3  1 1 2 2 Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x ta có: y 1 1 2x 1 3x 2 1 x 3 x2       y 2  x  2 2  x 2 2 2  x 3 2  x  2  x 2 2 2  x 3  1 3 x2   1 3 x2  y    x  3 y    x  3 2  x  2  x 2 2  x 3  2  x  2  x 2 2 x   2  x  2  x 2 2 x  2 2 1 1 1 1 1 1 b). y    3  x 1  x 2  x 3  y   2   x x x x 2 x 3 33 x 4      c). y  sin x cos 2 . tan 3 x  sin x cos 2 . tan 3 x  cos x. cos 2 x. tan 3 x      2 cos x. sin x  tan 3 x  cos 2 x.3 tan 2 x. 1 2 cos x   cos x. cos 2 x. tan 3 x    sin 2 x tan x  3 tan x  cos x.cos 3 2 2 x. tan 3 x  d). y  x  x x  2 x  g :   * Ta có: y1  x  y1  x   1 , y 2  2 x  y 2  2 x    2 x. ln a * y3  x x  , Ta lấy Loga-Nepe 2 vế ta có   ln y3  ln x x  x. ln x Lấy đạo hàm 2 vế ta có: y3     x. ln x   x  ln x  ln x  x  x ln x  1 y3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 19 -