Đặt ẩn phụ là gì

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải phương trình vô tỷ

Đã có topic nói đến phương pháp này,nhưng mình muốn nói kỹ hơn về phương pháp này

 

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp hay trong giải phương trình vô tỷ, phương pháp này tạo ra một lời giải đẹp và ngắn gọn,tuy nhiên cũng gây nhiều thắc mắc khi nhìn vào lời giải, nó có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$.Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn phương pháp này.

 

 

Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$ có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, bài viết cách này đang trôi nổi ở một nơi nào đó trên diễn đàn,em xin post lại

Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phương trình, Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn,có biệt thức $\Delta$ là một biểu thức chính phương

Ví dụ mở đầu:

Giải phương trình $3x^2+x+3+(8x-3)\sqrt{2x^2+1}=0$

-Lời giải: Phương trình tương đương với $(3\sqrt{2x^2+1}-x)(\sqrt{2x^2+1}+3x-1)=0$

Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp

 

Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử phương trình trên,một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp.

 

Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô tỷ thì sao.phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp

 

Bài toán trên còn có một lời giải khác:

Đặt $\sqrt{2x^2+1}=t$,phương trình trở thành:

$3t^2+(8x-3)t-3x^2+x=0$

Ta có $\Delta_t=100x^2-60x+9=(10x-3)^2$

Từ đây dễ dàng giải tiếp

 

Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau.Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1

Ở cách giải thứ 2,hệ số của $t^2$ là $3$,nếu hệ số khác có làm cho $\Delta$ chính phương không,đáp án là không.Vậy những số nào có thể thỏa mãn

Chúng ta gọi hệ số đó là $m$,khi đó phương trình trở thành

$mt^2+(8x-3)t+3x^2+x+3-m(2x^2+1)=0$

Chúng ta tìm $m$ để $\Delta_t$ chính phương

$\Delta_t=(8x-3)^2-4m[3x^2+x+3-m(2x^2+1)]=(8m^2-12m+64)x^2- (4m+48 )x+4m^2-4m+9$

$\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức là:

$\Delta_{\Delta_t}=0\Leftrightarrow -16m(8m^3-36m^2+117m-243)=0$

Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm $m=3$,từ đó suy ra cách biến đổi phương trình để có hai lời giải trên

 

Tổng quát: Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=px^2+qx+t$

Viết lại phương trình thành $px^2+qx+t-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=0$

Đặt $\sqrt{cx^2+dx+e}=t$

Ta sẽ biến đổi phương trình thành $mt^2-(ax+b)t+P_{(x)}=0 (1)$

Với $P_{(x)}=x^2+qx+t-m(cx^2+dx+e)$ và $\Delta_t$ là một biểu thức chính phương,nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu

Viết lại phương trình $(1)$ thành $mt^2-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}+(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e)=0$

$\Delta_t=(ax+b)^2-4m\left[(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e) \right]$

$=(a^2-4m+4m^2c)x^2+(2ab-4mq+4m^2d)x+(b^2-4mt+4me)=Ax^2+Bx+C$

Để $\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức $\Delta_{\Delta_t}=0$

Hay $B^2-4AC=0\Rightarrow (2ab-4mq+4m^2d)^2-4(a^2-4m+4m^c)(b^2-4mt+4me)=0$

Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng $m(a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)=0$,phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $m=0$

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Lớp 9, Lớp 10

Toán Học

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Lớp 9, Lớp 10

admin.ta

22 Tháng Hai, 2022

Đặt ẩn phụ là gì

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ được giải bằng những bước nào ? Hãy theo dõi nội dung chúng tôi chia sẻ trong bài viết này để giải quyết những phương trình đặt ẩn phụ phức tạp nhé !

Tham khảo bài viết khác:

  • Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
  • Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

      Phương pháp giải chung

– Để giải những phương trình đặt ẩn phụ, bạn hãy thực hiện theo những bước dưới đây:

+) Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.

+) Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn phụ.

+) Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số).

+) Bước 4: Với mỗi giá trị ẩn phụ tìm được, tìm nghiệm tương ứng của hệ phương trình.

+) Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Đặt ẩn phụ là gì

       Bài tập minh họa Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau, khẳng định nào sau đây là sai.

Đặt ẩn phụ là gì

 A. Điều kiện của hệ phương trình là: x ≠ 0 và y ≠ 0

 B. Nghiệm của hệ phương trình là (24; 48).

 C. Nghiệm của hệ phương trình là (24; 64).

 D. Cả A,B đều đúng.

– Hướng dẫn giải:

Đặt ẩn phụ là gì

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (24;48).

==> Phương án đúng: Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình sau, khẳng định nào sau đây là không sai.

Đặt ẩn phụ là gì

 A. Nghiệm x, y trái dấu.

 B. Tổng x + y < 0

 C. Hệ phương trình vô nghiệm

 D. Nghiệm x, y cùng dấu.

– Hướng dẫn giải:

Đặt ẩn phụ là gì

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (5;–1).

==> Phương án đúng: Chọn đáp án A.

Hy vọng bài viết chia sẻ đến bạn về phương pháp Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ sẽ giúp bạn giải được những bài toán của mình nhé.