Công thức tính tọa độ điểm đối xứng

a)Tìm tọa độ điểm đối xứng của . Bài 76 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng

a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; – 1;1)\) qua đường thẳng :

\(d:\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  – 1 – t \hfill \cr  z = 2t. \hfill \cr}  \right.\)

b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}( – 3;1; – 1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):4x – 3y – 13 = 0\) và \(\left( {\alpha ‘} \right):y – 2z + 5 = 0.\)

c) Tìm độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; – 1;1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):y + z – 4 = 0\) và \(\left( {\alpha ‘} \right):2x – y – z + 2 = 0.\)

a) Phương trình mặt phẳng qua điểm \({M_O}(2; – 1;1)\) và vuông góc với đường thẳng d đã cho là

\(2(x – 2) + \left( { – 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x – y + 2z – 7 = 0.\)

Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trên, ta có: \(H = \left( {{{17} \over 9}; – {{13} \over 9};{8 \over 9}} \right).\)

Gọi \({M_0}’\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng với điểm \({M_o}\) qua đường thẳng d thì H là trung điểm của đoạn thẳng\({M_o}{M_o}’\) . Do đó

        \(\left\{ \matrix{  {{x + 2} \over 2} = {{17} \over 9} \hfill \cr  {{y – 1} \over 2} =  – {{13} \over 9} \hfill \cr  {{z + 1} \over 2} = {8 \over 9}. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \({M_o}’ = \left( {{{16} \over 9}; – {{17} \over 9};{7 \over 9}} \right).\)

Quảng cáo - Advertisements

b) Ta xác định được vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4;2} \right).\)

Khi đó phương trình mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d là :

        \(\left( \alpha  \right):3x + 4y + 2z + 7 = 0.\)

Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của d và \(\left( \alpha  \right)\), ta có \({H}= \left( {1; – 3;1} \right).\)

Gọi \(M_o’\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng của \({M_o}\) qua d, ta có \(M_o’ = (5; – 7;3).\)

c) Ta xác định vectơ chỉ phương của d:

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {\left| {\matrix{   1 & 1  \cr   { – 1} & { – 1}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   1 & 0  \cr   { – 1} & 2  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   0 & 1  \cr   2 & { – 1}  \cr  } } \right|} \right)\)

      \(= \left( {0;2; – 2} \right).\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d, khi đó \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình: \(y – z + 2 = 0.\)

Gọi H là giao điểm của d với mp\(\left( \alpha  \right)\), toa độ của \(H(x;y;z)\) là nghiệm của hệ:

        \(\left\{ \matrix{  y + z – 4 = 0 \hfill \cr  2x – y – z + 2 = 0 \hfill \cr  y – z + 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow H = \left( {1;1;3} \right).\)

Từ đó, điểm \(M_o’\) đối xứng với \({M_o}\) qua d là \(M_o’ = \left( {0;3;5} \right).\)

Tóm tắt nội dung tài liệu

1. VẤN ĐỀ :ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ,QUA MỘT MẶT PHẲNG : I/PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : 1Điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng : Cho điểm A và đường thẳng d .Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d. +Tìm toạ độ H hình chiếu của A trên d. +Áp dụng công thức tính toạ độ H là trung điểm của AA’ x A  xA ' y  y A' z z , yH  A , zH  A A' xH  2 2 2 2.Điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng : Cho điểm A và mp(P).gọi A’ là điểm dối xứng của A qua (P) Bước 1:Tìm toạ độ hình chiếu H của A trên mp(P) Bước 2 :Áp dụng công thức tính toạ độ H là trung điểm của AA’ x A  xA ' y  y A' z z , yH  A , zH  A A' xH  2 2 2 II.BÀI TẬP ÁP DỤNG : x  2 y 1 z Bài 1:a/Cho điểm A(1;2;-1)và đường thẳng d :  .Hãy tìm toạ  1 3 3 độ điểm A’ đối xứng với A qua d.
2. b/Tìm điểm A’ đối xứng của A(2;3;-1) qua mặt phẳng (P) : 2x-y-z- 5=0. Bài 2:Tìm điểm đối xứng của A(2;-1;3) qua các đường thẳng .  x  2t x  2 y  z  0 x 1 y  2 z  3  b /(d ) :  y  1  t c /(d ) :   a /(d ) :  2 x  y  z  5  0 1 2 1  z  1  2t  Bài 3: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2;1;3) qua : a/mp(P):2x+y-z-3=0.  x  1  t1  t2  b/ mp(P):  y  2  2t1  t2 (t1 , t2  R)  z  1  t  t  1 2 Bài 4(ĐH_CĐ-KD-2006)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng : x2 y2 z3 x 1 y 1 z  1 (d1 ) : (d 2 ) :     2 1 1 1 2 1 a/Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d1. b/Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2

Page 2

YOMEDIA

Tham khảo tài liệu 'vấn đề :điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng ,qua một mặt phẳng', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

29-12-2011 621 4

Download

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.

CÔNG THỨC GIẢI NHANH HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ

Công thức tính nhanh 1: Cách xác định nhanh tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác trong không gian Oxyz

Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây:

                                    $BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Chuyển qua tọa độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh tọa độ điểm I như sau:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh $A\left( 1;1;1 \right),\,B\left( 4;1;1 \right),\,C\left( 1;1;5 \right)$. Tìm tọa độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

     A. $I\left( -2;-1;-2 \right).$                              B. $I\left( 2;-1;2 \right).$          C. $I\left( 2;1;2 \right).$     D. $I\left( 1;2;2 \right).$

Lời giải: Ta có $BC=5,\,CA=4,\,AB=3$. Do đó

Vậy $I\left( 2;1;2 \right)\,\,\,\left( C \right).$

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 2;2;1 \right),\,B\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right)$. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( AOB \right)$ có phương trình là 

     A. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{2}.$                                  B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-8}{-2}=\frac{z-4}{2}.$

     C. $\frac{x+\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{5}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{11}{6}}{2}.$           D. $\frac{x+\frac{2}{9}}{1}=\frac{y-\frac{2}{9}}{-2}=\frac{z+\frac{5}{9}}{2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $OA=3,\,OB=4,\,AB=5.$

Do đó tâm nội tiếp $I$ của tam giác $AOB$ có tọa độ là

${{x}_{I}}=\frac{3{{x}_{B}}+4{{x}_{A}}+5{{x}_{O}}}{3+4+5}=\frac{-8+8+0}{12}=0$

${{y}_{I}}=\frac{3{{y}_{B}}+4{{y}_{A}}+5{{y}_{O}}}{3+4+5}=\frac{4+8+0}{12}=1$

${{z}_{I}}=\frac{3{{z}_{B}}+4{{z}_{A}}+5{{z}_{O}}}{3+4+5}=\frac{8+4+0}{12}=1$

Véctơ chỉ phương của đường thẳng này là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]//\left( 1;-2;2 \right)$.

Do đó đường thẳng cần tìm là

qua điểm $\left( -1;3;-1 \right)$.

Đối chiếu các đáp án chọn A.

Công thức tính nhanh 2: Xác định bán kính ngoại tiếp tam giác

Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau:

Ta biết được rằng

$R=\frac{abc}{4S},$

trong  đó $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $S$ là diện tích tam giác.

Áp dụng trong hình tọa độ không gian $Oxyz$, ta được

$R=\frac{AB.BC.CA}{2\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|}.$

trong đó tất cả các phép toán có trong công thức trên hoàn toàn bấm trực tiếp bằng máy tính.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;0;-1 \right),\,B\left( 1;-2;3 \right),\,C\left( 0;1;2 \right)$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.   

     A. $\frac{7\sqrt{11}}{10}.$                               B. $\frac{7\sqrt{11}}{5}.$          C. $\frac{11\sqrt{7}}{10}.$     D. $\frac{11\sqrt{7}}{5}.$

Lời giải:

Ta có $AB=\sqrt{21},\,BC=\sqrt{11},\,CA=\sqrt{14},\,{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=5\sqrt{\frac{3}{2}}.$

Vì vậy

$R=\frac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}=\frac{\sqrt{21}.\sqrt{11}.\sqrt{14}}{4.5\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

Chọn đáp án A.

* Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả $R\approx 2,3216375$ lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được ${{R}^{2}}=\frac{539}{100}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$

Công thức tính nhanh 3: Xác định tọa độ hình chiếu của một điểm lên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ

* Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ $Ox,\,Oy,\,Oz$ lần lượt là $A\left( {{x}_{0}};0;0 \right),\,B\left( 0;{{y}_{0}};0 \right),\,C\left( 0;0;{{z}_{0}} \right)$.

*  Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên các mặ phẳng tọa độ $\left( Oxy \right),\,\left( Oyz \right),\,\left( Ozx \right)$ lần lượt là $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};0 \right),\,B\left( 0;{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),\,C\left( {{x}_{0}};0;{{z}_{0}} \right)$.

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M\left( 3;2;6 \right)$ lên các trục tọa độ $Ox,\,Oy,\,Oz$.

    Giải. Ta có $A\left( 3;0;0 \right),\,B\left( 0;2;0 \right),\,C\left( 0;0;6 \right)\,\,\Rightarrow \,\left( ABC \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1$.

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M\left( 1;2;3 \right)$ trên các mặt phẳng tọa độ $\left( Oxy \right),\,\left( Oyz \right),\,\left( Ozx \right)$.

Công thức tính nhanh 4: Xác định tọa độ điểm đối xứng qua đường thẳng, mặt phẳng

* Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$.

Điểm $N\left( x;y;z \right)$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $\left( P \right)$ có tọa độ là nghiệm của hệ

* Chú ý. Trong hệ phương trình trên hoặc $a=0$ hoặc $b=0$ hoặc $c=0$ thì tương ứng $x={{x}_{0}}$ hoặc $y={{y}_{0}}$ hoặc $z={{z}_{0}}$.

. Tọa độ điểm $N\left( x;y;z \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+d=0$ là

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-3y+5z-4=0$ và kí hiệu $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng $\left( P \right)$ qua mặt phẳng $\left( Oxz \right)$. Hỏi phương trình của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là?

     A. $\left( Q \right):2x+3y+5z-4=0$.                B. $\left( Q \right):2x+3y+5z+4=0$.

     C. $\left( Q \right):2x-3y+5z+4=0$.                D. $\left( Q \right):2x-3y+5z-4=0$.

            Giải. Xét điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\in \left( P \right),\,N\left( x;y;z \right)$ là điểm đối xứng của $M$ qua $\left( Oxz \right)$, ta có

Thay vào phương trình của $\left( P \right)$, ta được: $2x-3\left( -y \right)+5z-4=0\Rightarrow \left( Q \right):2x+3y+5z-4=0$. Chọn đáp án A.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z+4=0$. Biết $M,N$ là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng $\left( P \right)$ và $M$ thuộc mặt cầu $\left( T \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5$. Hỏi điểm $N$ thuộc mặt cầu nào dưới đây? 

     A. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

     B. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

     C. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

     D. $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$

Công thức tính nhanh 5: Mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng giao nhau

$\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}.$

Công thức tính nhanh 6: Viết phương trình đường phân giác trong và ngoài của tam giác

Xét tam giác $ABC$, khi đó đường phân giác trong góc $A$ có véctơ chỉ phương là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.$

Ngược lại, đường phân giác ngoài góc $A$ có véctơ chỉ phương là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.$

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( 1;-2;1 \right),\,B\left( -2;2;1 \right),\,C\left( 1;-2;2 \right)$. Hỏi đường phân giác trong của góc A của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ tại điểm nào sau đây?

     A. $\left( 0;-\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right).$   B. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).$   C. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{8}{3} \right).$                            D. $\left( 0;\frac{2}{3};-\frac{8}{3} \right).$

     Giải.

Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc A là x

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{0}^{2}}}}\left( -3;4;0 \right)+\frac{1}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}\left( 0;0;1 \right)=\left( -\frac{3}{5};\frac{4}{5};1 \right)$

Chọn đáp án C.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2};\,{{\Delta }_{2}}:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}$ cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. 

Giải.

Tọa độ giao điểm

Lấy $B\left( 2;3;3 \right)\in {{\Delta }_{1}},\,C\left( 0;-1;3 \right)\in {{\Delta }_{2}}$ ta có

Do đó $d$ là phân giác ngoài góc $A$, có véctơ chỉ phương

                        $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\left( 1;2;2 \right)-\frac{1}{3}\left( -1;-2;2 \right)=\frac{1}{3}\left( 2;4;0 \right)//\left( 1;2;0 \right)$

Chọn đáp án D.

Công thức tính nhanh 7: Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau tại điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$.

Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\pm \frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)\pm \frac{1}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right)$.

Chi tiết có hai phân giác:

   * Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng.

   * Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ là phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$.

     A. $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$                                 B. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{5}.$       

     C. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}.$                                   D. $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{1}.$

Lời giải chi tiết: Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $A\left( 1;1;-1 \right)$. Có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 1;-2;2 \right),\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 3;-4;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.$

Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{3}\left( 1;-2;2 \right)+\frac{1}{5}\left( 3;-4;0 \right)=\left( \frac{14}{15};-\frac{22}{15};\frac{2}{3} \right)//($ (???)

Vậy đường thẳng cần tìm là $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$

Chọn đáp án A.

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng

Lời giải chi tiết: Có $A\left( 1;1;1 \right)=d\bigcap \Delta $. Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 3;4;0 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( -2;1;2 \right)$. Có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2<0\rightarrow>90{}^\circ $.

Do đó phân giác của góc nhọn $d$ và $\Delta $ sẽ đi qua A và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{5}\left( 3;4;0 \right)-\frac{1}{3}\left( -2;1;2 \right)=\left( \frac{19}{15};\frac{7}{15};-\frac{2}{3} \right)//\left( 19;7;-10 \right).$

Đối chiếu các đáp án chọn D.

Bài viết gợi ý: