Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Bạn có biết công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ngoại tiếp hình lập phương là gì chưa?  Những công thức này và một số bài tập liên quan là một trong những câu hỏi hay dạng bài phổ biến trong kỳ thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia. Chính vì vậy trong bài viết hôm nay mình sẽ chia sẻ với các bạn công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ngoại tiếp hình lập phương và một số bài tập ví dụ minh họa để các bạn có thể hiểu rõ hơn nhé.

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có thể chia thành các dạng như sau:

Công thức 1: Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

  • Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy và h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Công thức 2: Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Công thức 3: Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

  • Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy và h là độ dài cạnh bên.

Công thức 4: Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng 

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

2. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Để tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương thì đầu tiên chúng ta xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương và tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC’ (tâm đối xứng của hình lập phương).

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng 1/2 độ dài đường chéo của hình lập phương.

          

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Bài tập ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA = a√3, SA ⊥ (ABCD). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài giải:

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Bài tập ví dụ 2: Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a.

 

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Bài giải:

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

3. Bài tập minh hoạ

Ví dụ minh họa 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a,BC=4a,SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

(Trích Câu 16 – mã đề 122 đề thi THPT Quốc gia 2017)

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

 

 

 

 

 

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

 

Ví dụ minh họa 3: Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

(Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124)

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Ví dụ minh họa 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Ví dụ minh họa 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Hướng dẫn giải: 

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra SO⊥(ABCD).

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có:

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Công thức tính đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Qua bài viết trên đây chắc hẳn các bạn đã có thể nắm rõ được công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lập phương. Mình hy vọng những chia sẻ của mình sẽ thực sự hữu ích đối với việc học tập của các bạn, cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết này và hẹn các bạn ở các bài viết tiếp theo của mình nhé.

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:

Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:

Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là:

Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?

Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu?

Công thức tính diện tích mặt cầu là:

Khối cầu thể tích \(V\) thì bán kính là:

Cho khối cầu có bán kính \(R = 6\). Thể tích của khối cầu bằng

Một mặt cầu có bán kính bằng \(a.\) Diện tích của mặt cầu đó là:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 3\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua \(A\) và vuông góc với \(SC\) cắt cạnh \(SB,\,\,SC,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N,\,\,P\). Thể tích \(V\) của khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(CMNP\).

Mặt cầu là tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là tâm cầu O, bán kính R, kí hiệu: S(O; R) hay {M/OM = R}, vậy công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp là gì, mời các bạn cùng đón đọc bài hướng dẫn chi tiết của chúng tôi.

Công thức diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều có cạnh bằng a, hình chóp, hình lăng trụ, hình lập phương 

Mục Lục bài viết:
I. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp.
II. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản.
1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp Hình lăng trụ.
2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.
III. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
IV. Bài tập.

S = 4.π.R2

Với: S là kí hiệu diện tích mặt cầu
R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp

- Trục đáy: Là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
- Trung trực của đoạn thẳng: Là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
- Mặt trung trực của đoạn thẳng: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

II. Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản

- Tâm và bán kính mặt cầu là hai đại lượng quan trọng để tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp, chính vì vậy xác định tâm và bán kính là thao tác quan trọng để các em có thể tìm được diện tích. Cùng theo dõi cách tìm tâm và cách tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình.

1. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Hình lăng trụ đứng A1A2A3A4.A'1A'2A'3A'4 có hai đáy nội tiếp đường tròn O và O'.- Tâm mặt cầu: I và I' (đều là trung điểm của OO')

- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = IA1 = IA2 = ....


- Biết tâm, bán kính, áp dụng công thức để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có các cạnh bằng a,...

2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

a) Hình chóp đều

Hình minh họa 

* Xác định tâm mặt cầu:

Hình chóp đều S.ABC có:- O là tâm của đáy => SO là trục đáy- Trên mặt phẳng (SAO), vẽ d là đường trung trực của SA cắt SA tại giao điểm M, cắt SO tại giao điểm I

=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là I.

* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Xét hai tam giác đồng dạng với nhau là SMI và SOA, ta có:
=> R = SI = SA2 : 2.SO = IB = IB = IC (R: Bán kính)

* Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
=> Sau khi tính được bán kính mặt cầu, ta áp dụng công thức: S = 4.π.R2

b) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Hình minh họa

* Tìm tâm mặt cầu:

Hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC) trong đó mặt đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, vẽ d vuông góc với (ABC) tại O.

- Trong mặt phẳng được tạo bởi đường thẳng d với SA, vẽ đường trung trực d' của SA, giao với SA tại M, giao với d tại I.

* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:Từ các dữ kiện đã biết, ta có hình chữ nhật MIOB- Xét tam giác vuông MAI tại M:

R = AI = √(MI2 + MA2) = √[AO2 + (SA/2)2]

Lưu ý: Nếu hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và tam giác ABC vuông tại B thì tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chóp chính là trung điểm của đường SC. 

3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, hình hộp chữ nhật

* Xác định tâm của mặt cầu:- Tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC' (tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật/ hình lập phương).

* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 

- Bán kính mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật / hình lập phương.

* Áp dụng công thức tính S để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng 1, cạnh bằng 2a,...

III. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Để tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp, các bạn cần tính được bán kính ngoại tiếp. Các bạn cùng xem công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện để áp dụng vào trong bài cho đúng. 

IV. Bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SAB là tam giác đều, đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, (SAB) vuông (ABC). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Bài giải:

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA = a√3, SA ⊥ (ABCD). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện, hình lập phương, hình chóp, hình lăng trụ tương đối đơn giản, dễ nhớ, dễ thuộc, tuy nhiên trong từng dạng bài tập các em cần áp dụng một cách linh hoạt để tìm ra đáp án chính xác nhất cho đề bài. Bên cạnh đó các em cũng cần hiểu và ghi nhớ cách tính diện tích hình tròn để dễ dàng áp dụng những loại hình tương tự trong hình học không gian nhé.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm các dạng bài về mặt cầu ngoại tiếp như bài toán công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là một bài toán mà các em rất hay gặp đó nhé.

Cách tính và công thức diện tích mặt cầu ngoại tiếp là kiến thức nằm trong chương trình Toán học lớp 12, gặp nhiều bài tập cũng như bài thi liên quan tới dạng tính mặt cầu ngoại tiếp này. Các em muốn bổ sung kiến thức này thì có thể tham khảo bài viết dưới đây.

Giải toán lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4 trang 18 SGK Hình Học - Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Cách tính diện tích hình thoi khi biết 4 cạnh Cách Tính Đường Kính Thân Cây Công thức tính diện tích hình thoi trong không gian Giải bài tập trang 26, 27, 28 SGK Hình Học 12 Bài tập tính thể tích hình hộp chữ nhật lớp 5