Bài tập trắc nghiệm giới hạn trần quốc nghĩa năm 2024

1. tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594 Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group D Ạ Y T H Ê M T O Á N 1 1 S Á C H C Á N H D I Ề U Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN 11 - SÁCH CÁNH DIỀU - CẢ NĂM - CHUYÊN ĐỀ 3 - GIỚI HẠN - HÀM SỐ LIÊN TỤC (LÝ THUYẾT, BÀI TẬP TỰ LUẬN, TRẮC NGHIỆM, VỞ BÀI TẬP) (BẢN GV) (282 TRANG) WORD VERSION | 2024 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL [email protected] vectorstock.com/28062405
2. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 1 Sưu tầm và biên soạn C H Ư Ơ N G III GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ LÝ THUYẾT. I = = = I 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa Ta nói rằng dãy số   n u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim 0 n n u   hay lim 0 n u  hay 0 n u  khi n   . Ta nói dãy số   n v có giới hạn hữu hạn là a (hay n v dần tới a ) khi , n   nếu   lim 0. n n v a    Kí hiệu: lim n n v a   hay lim n v a  hay n v a  khi . n   2. Một số giới hạn cơ bản: a) 1 lim 0 n  ;   * 1 lim 0, k k n   ; a) lim 0 c n  ;   * lim 0, k c k n   ; c là hằng số; c) lim 0 n n q   nếu 1 q  ; d) Dãy số   n u với 1 1 n n u n         có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e , 1 lim 1 n e n         . II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ a) Nếu lim n u a  và lim n v b  và c là hằng số thì :   lim n n u v a b      lim n n u v a b       lim .v . n n u a b    lim , 0 n n u a b v b      lim . . n c u c a  . lim n u a   và 3 3 lim n u a  b) Nếu 0 n u  với mọi n và lim n u a  thì 0 a  và lim n u a  . Kỹ năng sử dụng máy tính Tính lim n n u  thì nhập n u và ấn phím CALC 10 10 n  .
3. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 2 Sưu tầm và biên soạn III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn   n u có công bội q , với 1 q  được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 u S q   IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC • Ta nói dãy số   n u có giới hạn là  khi n   , nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim n u   hay n u   khi . n   • Dãy số   n u có giới hạn là  khi n   , nếu   lim n u    . Kí hiệu: lim n u   hay n u   khi . n   Nhận xét:   lim . n n u u       Nhận xét a) lim k n   với k nguyên dương; b) lim n q   nếu 1 q  . c) Nếu lim n u a  và lim n v   thìlim 0 n n u v  . d) Nếu lim 0 n u a   , lim 0 n v  và 0, 0 n v n    thì lim . n n u v   e)   lim lim n n u u       e) Nếu lim n u   và lim 0 n v a   thì lim . . n n u v   CHÚ Ý: Quy tắc tìm giới hạn tích   n n lim u .v Nếu n n lim u L,lim v (hay )      . Khi đó   n n lim u v n lim u L  n lim v   n n lim u v            
4. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 3 Sưu tầm và biên soạn Quy tắc tìm giới hạn thương n n u lim v Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài toán giới hạn vô cực của dãy số. TÓM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT n limu n lim v Dấu của n v n n u lim v L  Tùy ý 0 L 0  0   0   L 0  0   0   Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1 lim 0 n n   ; 1 lim 0 ( ) k n k n     lim 0 ( 1) n n q q    ; lim n C C   2. Định lí: a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim = a + b  lim = a – b  lim = a.b  lim n n u a v b  b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim n u a  c) Nếu n n u v  ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim n u a  3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1 u q    1 q  1. Giới hạn đặc biệt: lim n   ; lim ( ) k n k     lim ( 1) n q q    2. Định lí: a) Nếu lim n u   thì 1 lim 0 n u  b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n n u v = 0 c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 thì lim n n u v = . 0 . 0 n n neáu a v neáu a v       d) Nếu lim un = +, lim vn = a thì lim = 0 0 neáu a neáu a       * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 0 ,   ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
5. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 4 Sưu tầm và biên soạn HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II = = =I DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 Phương pháp giải: Để chứng minh lim 0 n u  ta chứng minh với mỗi số 0 a  nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số o n sao cho n o u a n n    . Câu 1: Chứng minh rằng 2 1 lim 0 1 n   Lời giải Với 0 a  nhỏ tùy ý, ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 a n n n a        . Chọn 1 1 o n a         . Do đó   0 a , 0 : o n n n   ta luôn có 2 1 1 a n   2 1 lim 0 1 n    . Chú ý: Kí hiệu  a là lấy phần nguyên của a . Câu 2: Chứng minh rằng 2 sin lim 0 2 n n   Lời giải Với 0 a  nhỏ tùy ý, ta có 2 2 sin sin 1 1 2 2 2 2 n n a n n n n a          . Chọn 1 2 o n a         . Do đó   0 a , 0 : o n n n   ta luôn có 2 sin 2 n a n   2 sin lim 0 2 n n    . Chú ý: Kí hiệu  a là lấy phần nguyên của a . Câu 3: Chứng minh rằng   1 1 1 1 lim 0 2 3 n n n              Lời giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được * * 1 1 2 , , 2 n n n n n n          . Với 0 a  nhỏ tùy ý, ta có   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 n n n n n n n n a n n a                  . Chọn 1 o n a        . Do đó   0 a , 0 : o n n n   ta luôn có   1 1 1 1 2 3 n n n a        1 1 1 1 lim 0 2 3 n n n               . Chú ý: Kí hiệu  a là lấy phần nguyên của a . DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG 0 CỦA DÃY SỐ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 và các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài toán. Câu 4: Cho dãy số   n u với 1 2 n n u n    . Tính lim n u
6. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 5 Sưu tầm và biên soạn Lời giải Ta có: 1 1 1 1 , . 2 1 1 n n n u n n n n n             Vì 1 lim 0 n  nên lim 0 n u  . Câu 5: Cho dãy số   n u với ( 0,97)n n u   . Tính lim n u Lời giải Theo công thức giới hạn đặc biệt, ta có: 0,97 1   nên lim 0. n u  Câu 6: Cho dãy số   n u với 3 3 2sin( 1) 2 n n n u n n n     . Tính lim n u Lời giải Ta có:   3 3 3 3 2sin( 1) 2 1 , . 2 2 n n n n u n n n n n n n            Vì 3 1 lim 0 n  nên lim 0 n u  . Câu 7: Cho dãy số   n u với 2 1 n u n n    . Tính lim n u Lời giải Ta có:    2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n u n n n n n n n n                       Vì 1 lim 0, n  2 1 1 lim 2 1 1 1 n    nên lim 0 n u  . Câu 8: Cho dãy số   n u với 3 2 4 3 2 3 4 4 n n n u n n n       . Tính lim n u Lời giải Ta có: 3 2 3 2 4 2 4 4 3 4 3 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 4 4 1 n n n n n n n n n u n n n n n n n n n                   Mà 2 lim 0, n  2 3 lim 0, n  4 4 lim 0 n  , 4 lim 0 n  và 3 1 lim 0 n  . Do đó 0 0 0 lim 0 1 0 0 n u       . Câu 9: Cho dãy số   n u với   5 1 5 2 1 .2 3 n n n n u     . Tính lim n u Lời giải Ta có:       5 5 1 5 5 2 2 5 1 .2 1 .2.2 1 .2 2 . 3 3 .3 9 3 n n n n n n n n u              
7. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 6 Sưu tầm và biên soạn Vì 2 1 3  nên 5 2 lim 0 3 n        . Do đó lim 0 n u  . Câu 10: Cho dãy số   n u với     1 1 5 4 7 4 n n n n n u        . Tính lim n u Lời giải Ta có:         4 4 5 1 1 5 5 5 7 4 4.4 7 4. 7 7 7 7 n n n n n n n n n n u                                                              Vì 4 4 lim lim 0 5 7 n n                 nên 4 1 1 5 lim 7 4 7 4. 7 n n                                và 5 lim 0 7 n        . Do đó lim 0 n u  . Câu 11: Cho dãy số   n u với 2 1 .3 n n n n u n    . Tính lim n u Lời giải Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .3 .3 3 3 n n n n n n n n n n n u n n n n                     Vì 2 1 lim 0 n  nên 1 lim 1 1 2 n n            và 1 lim 0. 3n  Do đó lim 0 n u  . Câu 12: Cho dãy số   n u với 3 3 2 n u n n    . Tính lim n u Lời giải Ta có:       3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2. 2 2 1 1 . n n n u n n n n n n n n n n n n                                    =                       2 2 3 3 3 2 2 2 n 1 1 1 n n Vì   2 3 2 lim 0 3 n  và 2 3 3 1 1 lim 3 2 2 1 1 1 n n            . Do đó lim 0 n u  . Câu 13: Cho dãy số   n u với 2 2 4 1 2 4 1 n n n u n n n       . Tính lim n u
8. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 7 Sưu tầm và biên soạn Lời giải Xử lí tử số : 2 2 2 2 2 4 1 4 1 4 1 2 4 1 2 4 1 2 n n n n n n n n           Xử lí mẫu số: 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 n n n n n n n n n n n n n                     2 2 2 2 2 2 4 1 1 4 1 lim lim lim 1 4 1 2 2 1 4 2 2 1 n n n n n n n n u n n n n n n n                                    2 2 2 2 4 1 4 1 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 4 2 2 4 2 2 n n n n n n n n n n n n                                               2 1 lim lim 0. 2 2 2 4 n n     Do đó lim 0 n u  . Câu 14: Cho dãy số   n u với    2 3 1 2 3 4 ... 1 3 3 3 ... 3 . 1 n n n u n             . Tính lim n u Lời giải Xét tử số: Ta thấy 1,2,3,4,...,n là một dãy số thuộc cấp số cộng cón số hạng với 1 1, 1. u d   Tổng n số hạng của cấp số cộng:     1 1 . 2 2 n n u u n n n S     Xét mẫu số: Ta thấy 2 3 1,3,3 ,3 ,...,3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có  1 n số hạng với 1 1, 3. u q   Tổng   1 n số hạng của cấp số nhân: 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 . . 1 1 3 2 n n n n q S u q             1 3 1 3.3 1 n n n n n u       Bằng quy nạp ta luôn có * 2 , n n n    và * 3 1, n n    2 2 3.3 1 3 3 3 n n n n n n n n u             . Vì 2 lim 0 3 n        nên lim 0. n u  Câu 15: Cho dãy số   n u với 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1) n u n n n n         . Tính   lim 1 n u  Lời giải Ta có :   1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 n n n u n n n n n n n n n n n n               
9. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 8 Sưu tầm và biên soạn = 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1) n n n n        1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 n n n           Vậy   1 lim 1 lim 0. 1 n u n            Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim n u với   1 3 2 n n u n    . Lời giải Với 0 a  nhỏ tùy ý, ta có   1 1 1 1 3 2 3 2 3 3 n n u a n n n n a          . Chọn 1 3 o n a        . Do đó   0 a , 0 : o n n n   ta luôn có n u a    1 lim 0 3 2 n n     . Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim n u với n 3 ! 2 n n u n n   . Lời giải Với 0 a  nhỏ tùy ý, ta có n n 2 3 3 3 ! 1 1 2 2 2 n n n n n n u a n a n n n n n n n n n            Chọn 2 1 o n a        . Do đó   0 a , 0 : o n n n   ta luôn có n u a  n 3 ! lim 0 2 n n n    Câu 18: Cho dãy số   n u với 2 2 1 2 3 n n n u n n     . Tính lim n u Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 1 n n n n n n n n u n n n n n n n n             Mà 2 lim 0, n  2 1 lim 0 n  , 2 lim 0, n n  2 3 lim 0 n  nên lim 0. n u  Câu 19: Cho dãy số   n u với 1 3 5 2 1 2 4 6 2 n n u n      . Tính lim n u Lời giải Ta có   2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 , * 2 2 1 4 4 1 k k k k k k k k k             .
10. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 9 Sưu tầm và biên soạn 1 1 2 3 3 3 1 3 2 1 1 3 2 1 1 . ... 4 5 2 4 2 3 5 2 1 2 1 ......... 2 1 2 1 2 2 1 n n n u n n n n n n n                             . Do đó 1 , 2 1 n u n n    . Mà 1 lim 0 2 1 n   do đó lim 0 n u  . Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm lim n u với 3 1 cos 2 3 n n u n    . Lời giải Ta luôn có 3 * cos 1, . n n    Với 0 a  nhỏ tùy ý, 3 1 cos 2 2 1 1 2 3 2 3 2 n n u a n n n n n a           . Chọn 1 o n a        . Do đó   0 a , 0 : o n n n   ta luôn có n u a  3 1 cos lim 0 2 3 n n     . Câu 21: Cho dãy số   n u với 2 1 .3 n n n n u n    . Tính lim n u Lời giải Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .3 .3 3 3 n n n n n n n n n n n u n n n n                     . Mà 2 1 lim 0 n  nên 1 lim 1 1 2 n n            và 1 lim 0. 3n  Do đó lim 0. n u  Câu 22: Cho dãy số   n u với   1.3.5.7.... 2 1 2.4.6...2n n n u   . Tính lim n u Lời giải Ta có: 0, * n u n    do đó  2 0, * n u n    .           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .3 .5 .7 .... 2 1 1 .3 .5 .7 .... 2 1 2 .4 .6 ...(2n) 2 1 4 1 6 1 ... (2 ) 1 n n n u n                2 2 2 2 2 1 .3 .5 .7 .... 2 1 1 1.3.3.5.5.7....(2n 1)(2n 1) 2 1 n n       . Do đó ta có * n   thì   2 1 0 2 1 n u n    . Mà lim0 0  và 1 lim 0 2 1 n   nên   2 lim 0 n u  . Từ đó suy ra lim 0 n u  .
11. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 10 Sưu tầm và biên soạn Câu 23: Cho dãy số   n u được xác định bởi:   1 * 1 1 1 , 2 n n n u u u n            . Tính   lim 2 n u  Lời giải Ta có :       1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ... ... 1 2 2 2 n n n n n n n u u u u u u u u                               . Dãy 1 2 1 1 1 , ,..., 2 2 2 n n               là một cấp số nhân có   1 n  số hạng với số hạng đầu 1 1 2 u  và công bội 1 2 q  nên 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 n n n n u S                      . Vậy   1 1 lim 2 lim 0. 2 n n u                    DẠNG 3. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ   n u có     n P n u Q n  (trong đó     , P n Q n là các đa thức của n) Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho k n với k n là lũy thừa có số mũ cao nhất của     , P n Q n , sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn Câu 24: lim n u , với 2 2 5 3 7 n n n u n    bằng: Cách 1: Ta có: 2 2 2 2 2 5 3 7 3 7 lim lim lim 5 5 n n n u n n n n n                    . Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự những ví dụ trên. Đây không phải là giá trị chính xác của giới hạn cần tìm, mà chỉ là giá trị gần đúng của một số hạng với n khá lớn, trong khi n dần ra vô cực. Tuy nhiên kết quả này cũng giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đó là đáp án B. Câu 25: Tính giới hạn 2 2 4 2 lim 2 1 n n n n      Lời giải: Cách 1: 2 2 2 2 1 2 4 4 2 4 lim lim 2 1 1 2 1 2 2 n n n n n n n n               
12. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 11 Sưu tầm và biên soạn Cách 2: Quan tâm đến hệ số của số hạng có số mũ cao nhất của tử và mẫu, khi đó ta có thể xem 2 2 4 2 n n u n   , rút gọn ta được – 2. Vậy giới hạn cần tìm bằng – 2. Câu 26: Tính giới hạn     4 2 lim 1 2 1 n n n n    Lời giải: Cách 1:     4 2 2 1 lim lim 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 n n n n n n n                     Cách 2: Ta quan tâm đến hệ số của số hạng có số mũ cao nhất của tử, và hệ số của số hạng có bậc cao nhất trong từng thừa số của mẫu, ta có thể xem 4 2 . . n n u n n n  , rút gọn ta được 1. Vậy kết quả giới hạn sẽ bằng 1. Câu 27: Tính giới hạn   2 2 2 3 1 lim 2 1 2 3 1 n n n n n            Lời giải:          2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 7 3 3 1 lim 2 1 lim 2 3 1 2 3 1 n n n n n n n n n n n n                   2 2 2 2 1 7 3 2 2 2 .2 lim 8 2 3 1 1.1 1 1 n n n n n n                               DẠNG 4. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ   n u có     n P n u Q n  (trong đó   P n và   Q n là các biểu thức chứa căn của n . Phương pháp giải Đánh giá bậc của tử và và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫy cho k n với k là số mũ lớn nhất của   P n và   Q n (hoặc rút k n là lũy thừa lớn nhất của   P n và   Q n ra làm nhân tử. Áp dụng các định lí về giới hạn để tìm giới hạn Câu 28: Tìm 2 1 lim 1 n n   . Lời giải Cách 1. 1 2 2 1 lim lim 2 1 1 1 n n n n       .
13. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 12 Sưu tầm và biên soạn Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem 2 n n u n  , sau đó rút gọn ta được 2 . Vậy giới hạn cần tìm là 2 . Câu 29: Tìm 2 2 lim n n n   . Lời giải Cách 1. 2 2 1 2 2 lim lim 2 1 1 n n n n        . Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem 2 2 1 n n n u n     , sau đó rút gọn ta được 2 1  . Vậy giới hạn cần tìm là 2 1  . Câu 30: Tìm 3 3 lim 3 2 n n n   . Lời giải Cách 1. 3 3 3 2 1 1 1 lim lim 2 3 2 3 3       n n n n n . Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem 3 3 3  n n u n , sau đó rút gọn ta được 1 3 . Vậy giới hạn cần tìm là 1 3 . Câu 31: Tìm 2 1 3 lim 4 5 n n n     . Lời giải Cách 1. 1 3 2 1 2 1 3 2 1 lim lim 2 4 5 5 4            n n n n n n . Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem 2 4   n n n u n , sau đó rút gọn ta được 2 1 2  . Vậy giới hạn cần tìm là 2 1 2  . Câu 32: Tìm 2 2 4 3 2 1 lim 2 3 n n n n n      . Lời giải
14. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 13 Sưu tầm và biên soạn Cách 1. 2 2 2 3 1 4 2 4 3 2 1 lim lim 0 2 2 3 1 3 n n n n n n n n             . Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem 2 2 4 2    n n n u n n , sau đó rút gọn ta được 0. Vậy giới hạn cần tìm là 0. Câu 33: Tìm 2 2 4 1 lim 9 3 n n n n n     . Lời giải Cách 1. 2 2 2 1 1 4 1 4 1 2 1 1 lim lim 3 3 3 9 3 9 n n n n n n n n             . Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem 2 2 4 9   n n n u n , sau đó rút gọn ta được 1 3 . Vậy giới hạn cần tìm là 1 3 . Câu 34: Tìm 2 2 2 1 2 4 lim 3 7 n n n n n       . Lời giải Cách 1. 2 2 2 1 2 4 2 1 2 1 2 4 1 lim lim 4 7 3 7 3 1               n n n n n n n n n . Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem 2 2 2 3    n n n u n n , sau đó rút gọn ta được 1 4 . Vậy giới hạn cần tìm là 1 4 . Câu 35: Tìm 2 2 4 3 2 1 lim ( 3 2 ) n n n n n      . Lời giải Cách 1. 2 2 4 2 2 2 1 3 2 1 4 3 2 1 lim lim 0 3 ( 3 2 ) 1 2             n n n n n n n n n n .
15. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 14 Sưu tầm và biên soạn Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem   2 2 4 2 2    n n n u n n n , sau đó rút gọn ta được 0. Vậy giới hạn cần tìm là 0. Câu 36: Tìm 2 3 3 2 2 4 4 4 1 8 2 3 lim 16 4 1 n n n n n n        . Lời giải Cách 1. 3 2 3 3 2 2 3 2 4 4 4 4 1 2 3 4 8 4 1 8 2 3 2 2 4 lim lim 4 1 3 4 1 16 4 1 16 1                    n n n n n n n n n n n . Cách 2. Quan tâm đến số hạng có chứa số mũ cao nhất, ta có thể xem 3 2 3 2 4 4 4 8 16 n n n u n n    , sau đó rút gọn ta được 4 3 . Vậy giới hạn cần tìm là 4 3 . DẠNG 5. NHÂN VỚI MỘT LƯỢNG LIÊN HỢP Phương pháp giải Sử dụng các công thức nhân liên hợp.     2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b                     3 3 2 2 a b a b a ab b       3 3 2 2 a b a b a ab b      .          2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 . . . a b a a b b a b a b a a b b a a b b                  .          2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 . . . a b a a b b a b a b a a b b a a b b                           2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 . . . a b a a b b a b a b a a b b a a b b                           2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 . . . a b a a b b a b a b a a b b a a b b                 
16. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 15 Sưu tầm và biên soạn                2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 . . . a b a a b b a b a b a a b b a a b b                  .                2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 . . . a b a a b b a b a b a a b b a a b b                  Câu 37: Tìm   2 lim 3 5 n n n    . Lời giải Cách 1.   2 lim 3 5 n n n       2 2 2 3 5 3 5 lim 3 5 n n n n n n n n n           2 3 5 lim 3 5 n n n n      2 5 3 3 lim 2 3 5 1 1 n n n       . Cách 2. Nhân với một lượng liên hợp, sau đó rút gọn và làm như cách 2 ở trên. Nhận xét: Khi nào sử dụng nhân với lượng liên hợp? Khi 2 2 3 5 3 5 1 1 n u n n n n n n                 . Trong đó, 2 3 5 lim ,lim 1 1 n n n              , khi đó lim n u có dạng .0  (đây là một dạng vô định) và ta không thể tính giới hạn củ n u theo hướng này. Vậy khi nào thì chọn cách nhân với một lượng liên hợp??? Cụ thể với 2 3 5 n u n n n     xét ở trên trong căn ta chỉ quan tâm đến biểu thức có chứa 2 n là cao nhất, còn lại bỏ hết, khi đó ta có thể xem 2 0 n u n n    , khi có điều này thì ta sẽ tìm giới hạn theo hướng nhân với một lượng liên hợp. Một ví dụ sau cho thấy ta không cần nhân với một lượng liên hợp. Ví dụ 2 2 3 5 n u n n n     xét ở trên trong căn ta chỉ quan tâm đến biểu thức có chứa 2 n là cao nhất, còn lại bỏ hết, khi đó ta có thể xem   2 2 2 1 n u n n n     , trong đó 2 1 0   và limn   , nên giới hạn của n u là  . Cụ thể ta làm như sau:   2 lim 2 3 5 n n n    2 3 5 lim 2 1 n n n                       Câu 38: Tìm   2 lim 9 3 4 3 2 n n n     . Lời giải
17. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 16 Sưu tầm và biên soạn   2 lim 9 3 4 3 2 n n n        2 2 2 9 3 4 3 9 3 4 3 lim 2 9 3 4 3 n n n n n n n n n                      2 3 4 lim 2 9 3 4 3 n n n n             2 4 3 3 5 lim 2 2 3 3 2 3 4 9 3 n n n                       Câu 39: Tìm   3 3 2 lim 3 n n n   . Lời giải   3 3 2 lim 3 n n n         2 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 3 3 lim 3 3 n n n n n n n n n n n n n n n                    2 2 3 2 3 3 2 2 3 3 lim 3 3 n n n n n n n      2 2 3 3 3 lim 1 3 3 1 1 1 n n             Câu 40: Tìm   3 3 2 lim 8 4 2 2 3 n n n     . Lời giải   3 3 2 lim 8 4 2 2 3 n n n           2 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 8 4 2 2 8 4 2 2 8 4 2 4 lim 3 8 4 2 2 8 4 2 4 n n n n n n n n n n n n n n n                                      2 2 3 2 3 3 2 2 3 4 2 lim 3 8 4 2 2 8 4 2 4 n n n n n n n                    2 2 3 3 2 2 2 4 4 10 lim 3 3 4 4 4 3 4 2 4 2 8 2 8 4 n n n n n                                   Câu 41: Tìm   3 2 3 lim 4 n n n   . Lời giải
18. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 17 Sưu tầm và biên soạn   3 2 3 lim 4 n n n         2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 4 4 4 lim 4 4 n n n n n n n n n n n n n n n                    2 2 2 3 2 3 2 3 3 4 lim 4 4 n n n n n n n      2 3 3 4 lim 4 4 1 1 1 n n            4 4 1 1 1 3     Câu 42: Tìm   2 3 3 2 lim 4 3 7 8 5 1 n n n n      . Lời giải   2 3 3 2 lim 4 3 7 8 5 1 n n n n        2 3 3 2 lim 4 3 7 2 2 8 5 1 n n n n n n         Trong đó   2 lim 4 3 7 2 n n n       2 2 2 4 3 7 2 4 3 7 2 lim 4 3 7 2 n n n n n n n n n           2 3 7 lim 4 3 7 2 n n n n      2 7 3 3 lim 4 3 7 4 2 n n n         3 3 2 lim 2 8 5 1 n n n          2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 8 5 1 4 2 8 5 1 8 5 1 lim 4 2 8 5 1 8 5 1 n n n n n n n n n n n n n n n                         2 2 2 3 3 2 3 2 3 5 1 lim 4 2 8 5 1 8 5 1 n n n n n n n          2 2 3 3 2 2 1 5 5 lim 12 5 1 5 1 4 2 8 8 n n n n n                  Suy ra   2 3 3 2 lim 4 3 7 8 5 1 n n n n      3 5 1 4 12 3    Câu 43: Tìm   4 2 3 6 lim 1 1 n n n     . Lời giải   4 2 3 6 lim 1 1 n n n       4 2 2 2 3 6 lim 1 1 n n n n n        Trong đó
19. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 18 Sưu tầm và biên soạn   4 2 2 lim 1 n n n       4 2 2 4 2 2 4 2 2 1 1 lim 1 n n n n n n n n n           2 4 2 2 1 lim 1 n n n n      2 2 1 1 1 lim 2 1 1 1 n n        2 3 6 lim 1 n n         2 2 3 6 4 2 3 6 6 3 2 4 2 3 6 6 3 1 1 1 lim 1 1 n n n n n n n n n n                    2 4 2 3 6 6 3 1 lim 1 1 n n n n       4 2 3 3 6 6 1 lim 0 1 1 1 1 1 n n n              Suy ra   4 2 3 6 lim 1 1 n n n     1 1 0 2 2    . Câu 44: Tìm 2 2 lim 4 3 2 n n n n n n     . Lời giải Ta có   2 lim n n n      2 2 2 lim n n n n n n n n n        2 lim n n n n    1 1 lim 2 1 1 1 n       2 lim 4 3 2 n n n      2 2 2 4 3 2 4 3 2 lim 4 3 2 n n n n n n n n n        2 3 lim 4 3 2 n n n n    3 3 lim 4 3 4 2 n     Suy ra 2 2 lim 4 3 2 n n n n n n     1 3 2 : 2 4 3   . Câu 45: Tìm 2 3 2 3 2 4 lim 4 n n n n n n     . Lời giải Ta có
20. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 19 Sưu tầm và biên soạn   2 lim 2 4 n n n      2 2 2 2 4 2 4 lim 2 4 n n n n n n n n n        2 lim 2 4 n n n n     1 1 lim 4 1 2 4 n         3 2 3 lim 4 n n n         2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 4 4 4 lim 4 4 n n n n n n n n n n n n n n n                    2 2 2 3 2 3 2 3 3 4 lim 4 4 n n n n n n n      2 3 3 4 lim 4 4 1 1 1 n n            4 4 1 1 1 3     Suy ra 2 3 2 3 2 4 lim 4 n n n n n n     1 4 3 : 4 3 16           . Câu 46: Tìm   2 2 lim 2 9 2 n n n n n     . Lời giải   2 2 lim 2 9 2 n n n n n       2 2 lim 3 9 2 n n n n n n       Trong đó   2 lim 3 9 n n n      2 2 2 3 9 3 9 lim 3 9 n n n n n n n n n        2 lim 3 9 n n n n     1 1 lim 6 1 3 9 n         2 2 lim 3 9 2 n n n n n n        2 lim 2 n n n       2 2 2 2 2 lim 2 n n n n n n n n n        2 2 lim 2 n n n n    2 lim 1 2 1 1 n     Suy ra   2 2 lim 2 9 2 n n n n n     1 5 1 6 6     . Câu 47: Tìm   2 3 2 3 2 lim 2 2 8 3 n n n n n n      . Lời giải   2 3 2 3 2 lim 2 2 8 3 n n n n n n            2 3 2 3 2 lim 2 2 8 3 n n n n n n n n n               
21. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 20 Sưu tầm và biên soạn Trong đó   2 lim 2 n n n      2 2 2 2 2 lim 2 n n n n n n n n n        2 2 lim 2 n n n n     2 2 lim 2 n n n n     2 lim 1 2 1 1 n         3 2 3 lim 8 n n n         2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 8 4 2 8 8 lim 4 2 8 8 n n n n n n n n n n n n n n n                    2 2 3 3 2 3 2 3 3 lim 4 2 8 8 n n n n n n n      2 3 3 1 1 1 lim 4 4 4 12 1 1 4 2 8 8 n n                  2 lim n n n      2 2 2 lim n n n n n n n n n        2 lim n n n n    1 1 lim 2 1 1 1 n     Suy ra   2 3 2 3 2 lim 2 2 8 3 n n n n n n      1 1 2 1 2. 3 12 2 3      . DẠNG 6     n P n u Q n  (trong đó   P n và   Q n là các biểu thức chứa hàm mũ , , ,... n n n a b c Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho n a trong đó a là cơ số lớn nhất. Câu 48: Tìm 1 2 lim 1 2 n n   . Lời giải Cách 1. 1 1 1 2 2 lim lim 1 1 2 1 1 2 n n n n                    Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa 2n ở tử và mẫu, ta có thể xem 2 2 n n n u   rút gọn ta được 1  , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 49: Tìm 4 lim 2.3 4 n n n  . Lời giải Cách 1. 4 1 lim lim 1 2.3 4 3 2. 1 4 n n n n          
22. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 21 Sưu tầm và biên soạn Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 4 ở tử và mẫu, ta có thể xem 4 4 n n n u  rút gọn ta được 1, đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 50: Tìm 2 4 lim 4 3 n n n n   . Lời giải Cách 1. 1 1 2 4 2 lim lim 1 4 3 3 1 4 n n n n n n                  Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 4 ở tử và mẫu, ta có thể xem 4 4 n n n u  rút gọn ta được 1, đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 51: Tìm 3.2 5 lim 5.4 6.5 n n n n   . Lời giải Cách 1. 2 3 1 3.2 5 1 5 lim lim 5.4 6.5 6 4 5 6 5 n n n n n n                    Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5 ở tử và mẫu, ta có thể xem 5 6.5 n n n u   rút gọn ta được 1 6  , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 52: Tìm 3 2.5 lim 7 3.5 n n n   . Lời giải Cách 1. 3 2 3 2.5 2 5 lim lim 7 3.5 3 1 7 3 5 n n n n n                    . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5 ở tử và mẫu, ta có thể xem 2.5 3.5 n n n u   rút gọn ta được 2 3  , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 53: Tìm 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n    . Lời giải
23. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 22 Sưu tầm và biên soạn Cách 1. 1 3 4 7 4.3 7 4.3 7.7 7 lim lim lim 7 2.5 7 2.5 7 5 2 1 7 n n n n n n n n n n                      . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 7 ở tử và mẫu, ta có thể xem 1 7 7 n n n u   rút gọn ta được 7 , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 54: Tìm 2 1 1 3 4 6 lim 5 2.6 n n n n       . Lời giải Cách 1. 2 2 1 2 1 3 3 3 2 4 6 4 6 4 .4 6.6 1 3 lim lim lim 1 5 2.6 72 1 5 .5 2.6 .6 2.6 5 5 6 n n n n n n n n n n                          . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 6 ở tử và mẫu, ta có thể xem 1 3 6 2.6 n n n u    rút gọn ta được 1 72 , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 55: Tìm 2 1 2 1 2 3 4.5 lim 2 3 5 n n n n n n         . Lời giải Cách 1. 2 2 1 2 1 2 2 3 4.5 2 3 4.5 5 5 lim lim 20 2 3 5 2 3 2. 3 5 5 5 n n n n n n n n n n                                       . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5 ở tử và mẫu, ta có thể xem 2 1 4.5 5 n n n u    rút gọn ta được 20 , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 56: Tìm 2 1 2 1 2 3 5 lim 2 3 5 n n n n n n         . Lời giải Cách 1. 2 2 1 2 1 2 2 3 5 2 3 5 5 5 lim lim 5 2 3 5 2 3 2. 3 . 5 5 5 n n n n n n n n n n                                       . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5 ở tử và mẫu, ta có thể xem 2 1 5 5 n n n u    rút gọn ta được 5 , đó chính là giới hạn cần tìm.
24. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 23 Sưu tầm và biên soạn Câu 57: Tìm 3 1 1 2 3 4 lim 2 3 4 n n n n n n        . Lời giải Cách 1. 3 3 1 1 1 3 4 2 3 4 2 4 lim lim 256 2 3 4 1 3 1 3. 2 4 4 n n n n n n n n n n                                       . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 4 ở tử và mẫu, ta có thể xem 3 1 4 4 n n n u     rút gọn ta được 256 , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 58: Tìm 1 ( 2) 4.5 lim 2.4 3.5 n n n n     . Lời giải Cách 1. 1 2 4.5 ( 2) 4.5 20 5 lim lim 2.4 3.5 3 4 2. 3 5 n n n n n n                       . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5 ở tử và mẫu, ta có thể xem 1 4.5 3.5 n n n u    rút gọn ta được 20 3  , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 59: Tìm 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n       . Lời giải Cách 1. 1 1 2 1 ( 2) 3 1 3 lim lim ( 2) 3 3 2 2. 3 3 n n n n n n                          . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 3 ở tử và mẫu, ta có thể xem 1 3 3 n n n u   rút gọn ta được 1 3 , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 60: Tìm     1 1 5 2 1 lim 5.2 5 3 n n n n       . Lời giải
25. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 24 Sưu tầm và biên soạn Cách 1.     1 1 2 1 1 2. 5 2 1 1 5 5 lim lim 5 2 1 5.2 5 3 5. 5 3. 5 5 n n n n n n n n                                     . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 5 ở tử và mẫu, ta có thể xem     1 5 5 n n n u   rút gọn ta được 1 5 , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 61: Tìm 2 2 2 3 2 lim 3 3 2 n n n n n n        . Lời giải Cách 1. 2 2 2 2 3 1 3 2 1 4 4 lim lim 3 3 2 4 3 3. 2 4 4 n n n n n n n n n n                                        . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là 4 ở tử và mẫu, ta có thể xem 2 2 2 2 2 n n n u   rút gọn ta được 1 4 , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 62: Tìm 1 2 3 2 lim 5. 4.3 2 n n n n n n         . Lời giải Cách 1. 1 2 2 3 2 3 2 lim lim 5. 4.3 2 5 3 2 5 4. 2 . n n n n n n n n n n                                             . Cách 2. Chỉ quan tâm đến biểu thức chứa hàm mũ có cơ số lớn nhất là  ở tử và mẫu, ta có thể xem 1 5. n n n u     rút gọn ta được 5  , đó chính là giới hạn cần tìm. Câu 63: Tìm   5 1 5 2 1 .2 lim 3 n n n    . Lời giải Cách 1.         5 5 5 5 1 5 5 2 2 2 2 2. 1 .2 1 2. 2 3 lim lim lim 0 3 3 3 . 3 n n n n n n n               . Cách 2. Tử chứa hàm số mũ có cơ số là 2 nhỏ hơn cơ số của hàm số mũ ở mẫu nên giới hạn là 0.
26. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 25 Sưu tầm và biên soạn Câu 64: Tìm 2 3 1 1 1 1 lim ... 5 5 5 5n           . Lời giải Cách 1. 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 lim ... lim 1 5 5 5 5 5 4 1 5 n n                    . Cách 2. Sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Câu 65: Tìm   1 1 1 1 1 lim +...+ 2 4 8 2 n n                    . Lời giải Cách 1.   1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 lim +...+ lim . 1 2 4 8 2 2 3 1 2 n n n                                           . Cách 2. Sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Câu 66: Tìm 1 1 1 1 ... 2 4 2 lim 1 1 1 1 ... 3 9 3 n n         . Lời giải Cách 1. 1 1 1 2 1. 1 1 1 1 1 ... 1 4 2 4 2 2 lim lim 1 1 1 3 1 1 ... 1 3 9 3 3 1. 1 1 3 n n n n                          . Cách 2. Sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Câu 67: Tìm 2 3 2 3 1 2 2 2 ... 2 lim 1 3 3 3 ... 3 n n           . Lời giải   1 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 1 2 2. 1. 2. 1 2 3 3 1 2 2 2 ... 2 1 2 lim lim lim lim 0 1 3 1 3 3 3 ... 3 1 3 1 1. 1 1 3 3 n n n n n n n n n                                                      . DẠNG 7: Dãy số   n u trong đó n u là một tổng hoặc một tích của n số hạng (hoặc n thừa số)
27. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 26 Sưu tầm và biên soạn Phương pháp: Rút gọn n u rồi tìm lim n u theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp để suy ra lim n u Cho hai dãy số   n u và   n v . Nếu * , n n u v n    với lim 0 n v  thì lim 0 n u  . Cho 3 dãy số   n x ,   n y ,   n z và số thực L . Nếu n n n x y z   và lim lim n n x z L   thì lim n y L  . Câu 68: Tính giới hạn    1 1 1 lim ... 1.3 3.5 2n 1 2n 1              Lời giải Do         2k 1 2k 1 1 1 1 1 1 . 2k 1 2k 1 2 2k 1 2k 1 2 2k 1 2k 1                      1 1 1 lim ... 1.3 3.5 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim . ... lim 1 2 1 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 2                                        Câu 69: Tính giới hạn 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 ... 1 2 3 n                      Lời giải Ta có:   2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 n n 1                                       2 2 2 1 3 2 4 3 5 n 2 n n 1 n 1 . . . . . ... . . 2 2 3 3 4 4 n 1 n 1 n 2n 1 1 1 n 1 1 lim 1 1 ... 1 lim 2n 2 2 3 n                                 Câu 70: Tính giới hạn 2 2 2 1 1 1 lim ... 4n 1 4n 2 4n n               Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ... ... 4n 4n 4n 4n 1 4n 2 4n n           2 2 2 * 2 2 2 2 2 1 1 1 ... 4n n 4n n 4n n n 1 1 1 n ... , n N 4n 4n 1 4n 2 4n n 4n n                   
28. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 27 Sưu tầm và biên soạn Mà 2 2 n 1 1 n 1 1 lim lim ;lim lim 2 2 2 1 4n 4n n 4 n       Nên 2 2 2 1 1 1 lim ... 4n 1 4n 2 4n n               = 1 2 Câu 71: Tính giới hạn     1.3.5.7... 2n 1 lim 2.4.6..... 2n  Lời giải: Cách 1: Ta có:         2 2 2 2 2 n n 2 2 2 2 1.3.5.7... 2n 1 1 .3 .5 .... 2n 1 u u 2.4.6... 2n 2 .4 .6 ... 2n           2 2 2 2n 1 2n 1 1.3 3.5 1 1 . .... . 2n 1 2n 1 2 4 2n       Vậy ta có: * n 1 0 u , n N 2n 1      Mà     1.3.5.7... 2n 1 1 lim 0 lim 0 2.4.6... 2n 2n 1      Cách 2: Đặt 1 3 5 7 2 1 . . . .... 2 4 6 8 2 n n u n   . Ta có 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 4 1 k k k k k k k k          . Suy ra   1 1 2 3 3 3 1.3.5.7... 2 1 1 3 5 7 2 1 1 . . . ... 4 5 2.4.6.8...2 3 5 7 9 2 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 2 1 n n n n n n n n n                         . Suy ra 1 2 1 n u n   mà 1 lim 0 2 1 n   Câu 72: Tính giới hạn 2 3sin 4cos lim 2 1   n n n Lời giải: Vì    2 2 2 2 3sin 4cos 3 4 sin os 5      n n n c n (bđt bunhia- copski) Nên 2 2 3sin 4cos 5 0 2 1 2 1      n n n n
29. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 28 Sưu tầm và biên soạn Mà 2 2 2 5 5 lim lim 0 1 2 1 2     n n n nên 2 3sin 4cos lim 0 2 1    n n n Câu 73:   2 sin ! lim 1 n n  bằng Lời giải Ta có   2 2 sin ! 1 1 1 n n n    mà 2 1 lim 0 1 n   nên chọn đáp án A. Lưu ý: Sử dụng MTCT. Với 13 X  , máy tính cho kết quả như hình bên. Với 13 X  , máy bào lỗi do việc tính toán vượt quá khả năng của máy. Do đó với bài này, MTCT sẽ cho kết quả chỉ mang tính chất tham khảo. Nhận xét: Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được rằng: a)   sin lim 0; k n n u v  b)   cos lim 0 k n n u v  . Trong đó lim , n v k   nguyên dương. Chẳng hạn: 2 3 sin 5 lim 0 2 1 n n n           ;   3 cos 3 1 lim 0 2n n    ; 3 2 3 cos 2 1 lim 0 5 1 n n n n      ; …. Câu 74:     1 lim 1 n n n   bằng Lời giải Cách 1: Ta có       2 1 1 1 1 1 1 . n n n n n n n n       mà 2 1 lim 0 n  nên suy ra     1 lim 0 1 n n n    Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên. Nhận xét: Dãy     1 n  không có giới hạn nhưng mọi dãy   1 n n v          , trong đó lim n v   thì có giới hạn bằng 0. DẠNG 8. n u cho bằng công thức truy hồi Phương pháp giải: Tìm công thức số hạng tổng quát của n u rồi sử dụng các phương pháp tính giới hạn dãy số. Câu 75: Tìm lim n u biết   1 1 1 2 : 1 , 1,2,3,... 2 n n n u u u n u             .
30. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 29 Sưu tầm và biên soạn Lời giải Tìm công thức số hạng tổng quát của 1 n n u n   suy ra lim lim 1 1 n n u n    . Câu 76: Tìm lim n u biết   1 1 2 : 1 , 1,2,3,... 2 n n n u u u u n           . Lời giải Tìm công thức số hạng tổng quát của 1 1 2 1 2 n n n u     suy ra 1 1 2 1 lim lim 1 2 n n n u      . Câu 77: Tìm 2 lim n u n biết   1 2 2 1 1, 3 : 2 1, 1,2,3,... n n n n u u u u u u n            . Lời giải Tìm công thức số hạng tổng quát của   1 2 n n n u   suy ra 2 1 lim 2 n u n  . Câu 78: Tìm lim 3.2 n n u biết   1 2 2 1 1, 6 : 3 2 , 1,2,3,... n n n n u u u u u u n           . Lời giải Tìm công thức số hạng tổng quát của 4 5.2n n u    suy ra 5 lim 3.2 3 n n u  . Câu 79: Tìm lim n u biết   n u có giới hạn hữu hạn và   1 1 1 : 2 3 , 1,2,3,... 2 n n n n u u u u n u            . Lời giải Đặt lim n u a  . Do 1 2 3 n n n u u u    nên 1 2 3 lim lim 2 n n n u u u     suy ra 2a 3 2 a a    3 a    . Do 0, 1,2,3,... n u n    nên 0 3 a a    Câu 80: Tìm lim n u biết   n u có giới hạn hữu hạn và   1 1 2 : 2 , 1,2,3,... n n n u u u u n           . Lời giải Đặt lim n u a  . Do 1 2 n n u u    nên 1 lim lim 2 n n u u    suy ra 2 a a   2 a   . Câu 81: Cho dãy số   n u được xác định bởi   1 1 2 2 1 1, 3 n n n u u u u      với mọi 1 n  . Biết dãy số   n u có giới hạn hữu hạn, lim n u bằng: Lời giải Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được 0 n u  với mọi n
31. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 30 Sưu tầm và biên soạn Đặt lim 0 n u L   . Ta có   1 2 2 1 lim lim 3 n n n u u u     hay   2 2 1 3 L L L    2 2 ( ) 2 0 1 ( ) L n L L L l            Vậy lim 2 n u  . Lưu ý: Để giải phương trình   2 2 1 3 L L L    ta có thể sử dụng chức năng SOLVE của MTCT (Chức năng SOLVE là chức năng tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình bằng phương pháp chia đôi). Ta làm như sau: Nhập vào màn hình   2 2 1 3 X X X    ; Bấm SHIFT CALC (tức SOLVE); Máy báo Solve for X ; Nhập 1  ; Máy báo kết quả như hình bên. 0 L R   tức đây là nghiệm chính xác. Lại ấn phím  . Máy báo Solve for X ; Nhập 0  ; Máy báo kết quả như bên. 0 L R   tức đây là nghiệm chính xác. Tuy nhiên ta chỉ nhận nghiệm không âm. Vậy 2 L  . (Ta chỉ tìm ra hai nghiệm thì dừng lại vì dễ thấy phương trình hệ quả là phương trình bậc hai). Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào màn hình như hình bên. Bấm CALC . Máy tính hỏi ? X nhập 1 rồi ấn phím  liên tiếp. Khi nào thấy giá trị của Y không đổi thì dừng lại. Giá trị không đổi đó của Y là giới hạn cần tìm của dãy số. Giới hạn đó bằng 2. Câu 82: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,151515... a  (chu kỳ 15 ), a được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, trong đó , m n là các số nguyên dương. Tìm tổng m n  . Lời giải Cách 1: Ta có 2 3 15 15 15 2,151515... 2 ... 100 100 100 a       Vì 2 3 15 15 15 ... 100 100 100    là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 15 100 u  , công bội 1 100 q  nên 15 71 100 2 1 33 1 100 a     . Vậy 71, 33 m n   nên 104 m n   . Cách 2: Đặt 5 0,151515... 100 15 33 b b b b       . Vậy 5 71 2 2 33 33 a b      . Do đó 71, 33 m n   nên 104 m n   . Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào máy số 2,1515151515 (Nhiều bộ số 15, cho tràn màn hình) rồi bấm phím =. Máy hiển thị kết quả như hình sau.
32. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 31 Sưu tầm và biên soạn Có nghĩa là   71 2, 15 33  . Vậy 71, 33 m n   nên 104 m n   . Cách 4: Sử dụng MTCT. Bấm 2. ALPHA 1 5 =. Máy hiển thị kết quả như hình sau. Có nghĩa là   71 2, 15 33  . Vậy 71, 33 m n   nên 104 m n   . Câu 83: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a b , trong đó , a b là các số nguyên dương. Tính a b  . Lời giải Cách 1: Ta có: 3 3 4 5 1 32 1 1 1 32 289 10 0,32111... ... 1 100 10 10 10 100 900 1 10          . Vậy 289, 900 a b   . Do đó 289 900 611 a b      . Cách 2: Đặt 0,32111... 100 32,111... x x    Đặt 0,111... 100 32 y x y     . Ta có: 1 0,111... 10 1 9 y y y y       . Vậy 1 289 289 100 32 9 9 900 x x      . Vậy 289, 900 a b   . Do đó 289 900 611 a b      . Cách 3: Sử dụng MTCT. Nhập vào máy số 0,3211111111 ( Nhập nhiều số 1, cho tràn màn hình), rồi bấm phím =. Màn hình hiển thị kết quả như sau.
33. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 32 Sưu tầm và biên soạn Vậy 289, 900 a b   . Do đó 289 900 611 a b      . Cách 4: Sử dụng MTCT. Bấm 0. 3 2 ALPHA 1 =. Máy hiển thị kết quả như hình sau. Vậy 289, 900 a b   . Do đó 289 900 611 a b      . Tổng quát Xét số thập phân vô hạn tuần hoàn 1 2 1 2 1 1 1 1 ... , ... ... ... ... m n k k a x x x y y y z z z z z z  . Khi đó    1 2 1 2 1 2 ... ... ... 10...0 99...9 0...0 n k m n chu so k chu so n chu so y y y z z z a x x x       Chẳng hạn, 15 32 1 2,151515... 2 ;0,32111.. 99 100 990     . DẠNG 9: GIỚI HẠN CỦA DÃY CHỨA ĐA THỨC HOẶC CĂN THEO n Phương pháp: Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung. ( Tử riêng, mẫu riêng). Câu 84: Gía trị của   4 2 lim n 2n 3   là. Lời giải   4 2 4 2 4 2 3 lim n 2n 3 limn 1 n n              Vì 4 limn   ; 2 4 2 3 lim 1 1 n n          . Máy tính Nhập vào máy tính: 4 2 X 2X 3   CALC 8 X 10  ( Hiểu là số vô cùng lớn ) ta được đáp án là 32 10 Nghĩa là   4 2 lim n 2n 3     . Cách 3: Nhận xét giới hạn của dãy số chỉ phụ thuộc vào bậc cao nhất trong đa thức.   4 2 4 lim n 2n 3 lim n      .
34. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 33 Sưu tầm và biên soạn Câu 85: Giá trị của   3 lim 2n 3n 1    là. Lời giải   3 3 2 3 3 1 lim 2n 3n 1 lim n 2 n n                Vì 3 limn   ; 2 3 3 1 lim 2 2 n n            . Máy tính Nhập vào máy tính: 3 2X 3X 1    CALC 8 X 10  ( Hiểu là số vô cùng lớn ) ta được đáp án là 24 2.10  Nghĩa là   3 lim 2n 3n 1      . Làm tắt: Nhận xét giới hạn của dãy số chỉ phụ thuộc vào bậc cao nhất trong đa thức.     3 3 lim 2n 3n 1 lim 2n        . Câu 86: Giá trị của   3 2 lim 2n 4   là. Lời giải   3 3 2 6 2 4 lim 2n 4 limn 2 n              Vì 6 limn   ; 3 2 4 lim 2 8 n           . Cách 2: Máy tính Nhập vào máy tính:   3 2 2X 4   CALC 8 X 10  ( Hiểu là số vô cùng lớn ) ta được đáp án là 48 8.10  Nghĩa là   3 2 lim 2n 4     . Cách 3: Nhận xét giới hạn của dãy số chỉ phụ thuộc vào bậc cao nhất trong đa thức.       3 3 2 2 6 lim 2n 4 lim 2n lim 8n         . Câu 87: Giá trị của   3 lim 2n n 2n 2    là. Lời giải Cách 1: tự luận   3 2 3 2 2 2 lim 2n n 2n 2 limn n 1 n n n                 
35. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 34 Sưu tầm và biên soạn Vì limn n   ; 2 3 2 2 2 lim 1 1 n n n              . Cách 2: Máy tính Nhập vào máy tính: 3 2X X 2X 2    CALC 6 X 10  ( Hiểu là số vô cùng lớn ) ta được đáp án là 998000000  Nghĩa là   3 lim 2n n 2n 2      . Cách 3: Nhận xét giới hạn của dãy số chỉ phụ thuộc vào bậc cao nhất trong đa thức.     3 3 lim 2n n 2n 2 lim n        . Câu 88: Giá trị của 4 3 3 2n 3n 2 lim n 2    là. Lời giải Cách 1: tự luận 4 4 3 2 4 2 4 3 3 3 3 3 2 3 2 n 2 2 2n 3n 2 n n n n lim lim lim n. 2 2 n 2 1 n 1 n n                                    Vì limn   ; 2 4 3 3 2 2 n n lim 2 2 1 n     . Cách 2: Máy tính Nhập vào máy tính: 4 2 3 2X 3X 2 X 2    CALC 6 X 10  ( Hiểu là số vô cùng lớn ) ta được đáp án là 2000000 Nghĩa là 4 3 3 2n 3n 2 lim n 2      . Cách 3: Nhận xét giới hạn của dãy số chỉ phụ thuộc vào bậc cao nhất trong đa thức của tử và mẫu 4 3 4 3 3 2n 3n 2 2n lim lim lim2n n 2 n        . Câu 89: Giá trị của    3 2 5 3 2n 1 3n 2 lim 2n 4n 1      là. Lời giải Cách 1: tự luận
36. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 35 Sưu tầm và biên soạn    3 3 7 3 2 2 2 2 5 3 5 2 5 2 5 1 2 1 2 n 2 3 2 3 2n 1 3n 2 n n n n lim lim limn 4 1 4 1 2n 4n 1 2 n 2 n n n n                                            Vì 2 limn   ; 3 2 2 2 5 1 2 2 3 n n limn 27 4 1 2 n n                 . Cách 2: Máy tính Nhập vào máy tính:    3 2 5 3 2X 1 3X 2 2X 4X 1      CALC 6 X 10  ( Hiểu là số vô cùng lớn ) ta được đáp án là 13 2.69999865.10  Nghĩa là    3 2 5 3 2n 1 3n 2 lim 2n 4n 1        . Cách 3: Nhận xét giới hạn của dãy số chỉ phụ thuộc vào bậc cao nhất trong đa thức của tử và mẫu        3 3 2 2 2 5 3 5 2n 1 3n 2 2n. 3n lim lim lim 27n 2n 4n 1 2n            . Câu 90: Giá trị của 2 4 2 3n 2n 3n 2 lim 4n 3n 2      là. Lời giải Cách 1: tự luận 2 3 4 3 4 2 4 2 2 2 3 2 3 2 n 3 2 3 2 n n n n 3n 2n 3n 2 lim lim limn 2 2 4n 3n 2 n 4 3 4 3 n n                                            Vì limn   ; 3 4 2 3 2 3 2 n n 3 2 lim 0 4 3 2 4 3 n                      . Cách 2: Máy tính Nhập vào máy tính: 2 4 2 3X 2X 3X 2 4X 3X 2      CALC 6 X 10  ( Hiểu là số vô cùng lớn ) ta được đáp án là 699216.0331
37. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 36 Sưu tầm và biên soạn Nghĩa là 2 4 2 3n 2n 3n 2 lim 4n 3n 2        . Cách 3: Nhận xét giới hạn của dãy số chỉ phụ thuộc vào bậc cao nhất trong đa thức của tử và mẫu 2 4 2 4 2 2 3n 2n 3n 2 3n 2n 3 2 lim lim limn 4 3 4n 3n 2 4n 3n              . Câu 91:   2 lim n n 4n 1   bằng. Lời giải Cách 1: Ta có 2 2 2 4 1 n n 4n 1 n 1 . n n              Vì 2 limn   và 2 4 1 lim 1 1 0 n n             nên theo quy tắc 2,   2 lim n n 4n 1 .     Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các Câu trên. Tổng quát: Xét dãy số i i 1 k k 1 s r n i i 1 1 0 k k 1 1 0 u a n a n ... a n a b n b n ... b n b ,               trong đó i k a ,b 0.  - Nếu s r i k a b  và i k r s  : Giới hạn hữu hạn. + Nếu hai căn cùng bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp. + Nếu hai căn không cùng bậc: Thêm bớt với i r i a n rồi nhân với biểu thức liên hợp. - Nếu s r i k a b  hoặc i k : r s  Đưa lũy thừa bậc cao nhất của n ra ngoài dấu căn. Trong trường hợp này n u sẽ có giới hạn vô cực. Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, các em sẽ được học về căn bậc s (s nguyên dương) và lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Người ta định nghĩa rằng r s r s a a  , trong đó a là số thực dương, r là số nguyên dương, s là số nguyên dương, s 2.  Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương. Chẳng hạn: 1 2 1 3 2 3 3 3 2 n n , n n , n n ...    Chẳng hạn: a) Với 2 2 2 n u n 2n 3 n n 2n 3 n         : nhân chia với biểu thức liên hợp của 2 n 2n 3 n    là 2 n 2n 3 n    . Dãy số có giới hạn hữu hạn bằng 1  . b) Với 3 3 3 3 3 3 n u n 8n 3n 2 n 8n 3n 2         : đưa 3 n ra ngoài dấu căn. Giới hạn của   n u   .
38. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 37 Sưu tầm và biên soạn c) Với   2 2 n u n n 4n 1 n n 4n 1       : đưa 2 n ra ngoài dấu căn. Giới hạn của   n u bằng  . Câu 92: Cho dãy số   n u xác định 1 u 0  , 2 u 1  , n 1 n n 1 u 2u u 2      với mọi n 2  . Tìm giới hạn của dãy số   n u . Lời giải Phân tích: Đề bài không cho biết dãy số   n u có giới hạn hữu hạn hay không. Có đáp án là hữu hạn, có đáp án là vô cực. Do đó chưa thể khẳng định được dãy số có giới hạn hữu hạn hay vô cực. Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L . Ta có: n 1 n n 1 lim u 2lim u lim u 2 L 2L L 2 0 2            (Vô lý) Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực ( và  ), vậy chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau. Cách 1: Ta có 1 u 0  , 2 u 1  , 3 u 4  , 4 u 9  . Vậy ta có thể dự đoán   2 n u n 1   với mọi n 1  . Khi đó       2 2 2 2 n 1 n n 1 u 2u u 2 2 n 1 n 2 2 n n 1 1                   . Vậy   2 n u n 1   với mọi n 1  . Do đó   2 n lim u lim n 1     . Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp). Nhập vào như màn hình sau. Bấm CALC Máy hỏi B? nhập 1 rồi bấm phím =, máy hỏi A? nhập 0 rồi ấn phím = liên tiếp. Ta thấy giá trị C ngày một tăng lên. Vậy chọn đáp án của dãy số là  . DẠNG 10: GIỚI HẠN CỦA DÃY CHỨA LŨY THỪA BẬC n Phương pháp: Rút cơ số lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung. ( Tử riêng, mẫu riêng ). Câu 93:   lim 5 2 n n  bằng. Lời giải Cách 1: Ta có n n n n 2 5 2 5 1 5                  Vì n lim5   và n 2 lim 1 1 0 5                  nên   n n lim 5 2    .
39. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 38 Sưu tầm và biên soạn Cách 2: Nhập vào máy tính   X X 5 2  CALC X 10  ta có kết quả 9764601 Nên   n n lim 5 2    Câu 94:   1 lim 3.2 5.3 7 n n n    bằng. Lời giải Cách 1:   n n 1 n n n 2 n lim 3.2 5.3 7n 3 5 6 7 3 3                        . Cách 2: Nhập vào máy tính X 1 X 3.2 5.3 7X    CALC X 10  ta được 289031  Nên   n 1 n lim 3.2 5.3 7n      Câu 95: Giá trị của n n n n 9 3.4 lim 6.7 8   là. Lời giải Cách 1: tự luận n n n n n n n n n n n 4 4 9 1 3. 1 3. 9 9 9 3.4 9 lim lim lim 6.7 8 8 7 7 8 6 1 6 1 8 8                                                                         Vì n 9 lim 8         ; n n 4 1 3. 9 lim 1 7 6 1 8                            Cách 2: Máy tính X X X X 9 3.4 6.7 8   CALC X 100  ta được kết quả 130391,1475 Nên n n n n 9 3.4 lim 6.7 8     Cách 3: Nhận xét giới hạn của dãy số chỉ phụ thuộc vào bậc cao nhất trong đa thức của tử và mẫu n n n n n n n 9 3.4 9 9 lim lim lim 6.7 8 8 8             . Câu 96: Giá trị của 2 3 n 2 n 3 3 3 ... 3 lim 1 2 2 ... 2         là. Lời giải Cách 1:Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân   n u với 1 u 3  vàq 3 
40. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 39 Sưu tầm và biên soạn Do đó   n 2 n 3 3 1 3 3 ... 3 2      Mẫu thức là tổng của n 1  số hạng đầu tiên của cấp số nhân   n v với 1 v 1  và q 2  . Do đó   n 1 2 n 2 2 1 1 2 2 ... 2 1        Vậy n n 2 3 n 2 n n 1 3 1 3 3 3 3 ... 3 3 lim lim . 1 2 2 ... 2 2 1 4 2 2                                                Cách 2: Nhập vào màn hình 20 X X 1 20 X 1 1 3 2     thấy kết quả hiển thị trên màn hình là 2493,943736. Do đó chọn đáp án.A. Tổng quát: Nếu tử thức là tổng của n i  số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội p 1  , mẫu thức là tổng của n k  số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có công bội q 1  thì: Phân thức có giới hạn là  nếu p q  Phân thức có giới hạn là 0 nếup q  BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP. Câu 97: Tìm giới hạn sau 3 3 2 2 3 lim 1 4 n n n    Lời giải 3 3 2 2 3 lim 1 4 n n n    = 2 3 3 2 3 2 lim 1 4 n n n    = 1 2  Câu 98: Tìm giới hạn sau 4 2 2 2 lim 1 n n n    Lời giải 4 2 2 2 lim 1 n n n    = 3 4 2 2 2 1 lim 1 1 n n n    = 1 Câu 99: Tìm giới hạn sau 1 1 3 4 lim 4 3 n n n    
41. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 40 Sưu tầm và biên soạn Lời giải 1 1 3 4 lim 4 3 n n n     = 1 1 1 9.3 4.4 lim 4 3 n n n      = 1 1 3 9. 4 4 lim 1 1 3. 4 n n                 = 4  Câu 100: Tìm giới hạn sau    3 2 1 lim 2 3 n n n Lời giải    3 2 1 lim 2 3 n n n = 3 3 2 2 1 1 lim 2 3 1 n n n n n                = 3 2 1 1 lim . 2 3 1 n n n n                              Câu 101: Tìm giới hạn sau 2 2 1 2 2 ... 2 lim 1 3 3 ... 3 n n         Lời giải 2 2 1 2 2 ... 2 lim 1 3 3 ... 3 n n         = 1 1 1 2 1 lim 1 3 2 n n       =   1 1 1 2 .2 lim 1 3 n n     = 1 1 1 1 2 .2 3 3 lim 1 1 3 n n n                                =0 Câu 102: Giá trị của     4 9 2 17 2 1 2 lim 1 n n L n     bằng Lời giải 8 4 9 9 4 9 2 2 17 17 17 1 2 1 2 (2 ) . (1 ) (2 ) .(1 ) lim lim 16 1 1 (1 ) 1 n n n n n n L L n n n           Câu 103: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để   2 4 4 5 3 lim 0. 1 2 1 n an L a n n       Lời giải       2 4 2 4 3 4 5 3 0 5 3 3 lim lim 0 . 2 1 1 1 2 1 1 1 a a n an a n L a a n n a a n n                     Câu 104: Kết quả của giới hạn 2 2 5 lim 3 2.5 n n n    bằng: Lời giải
42. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 41 Sưu tầm và biên soạn 2 1 2 25 2 5 25 5 lim lim . 3 2.5 2 3 2 5 n n n n n                     Câu 105: Biết rằng 3 3 2 2 5 7 lim 3 3 2 an n b c n n       với , , a b c là các tham số. Tính giá trị của biểu thức 3 . a c P b   Lời giải Ta có 3 3 3 2 3 3 3 2 2 5 7 5 7 lim lim 3 3 1 2 3 3 2 3 a an n b a n n n n n n            3 1 3 . 3 3 0 b a b c P c             Câu 106: Tìm giới hạn sau   2 lim( 4 ) n n n Lời giải                   2 2 4 4 lim 4 lim lim 2 4 4 1 1 n n n n n n n n Câu 107: Tìm giới hạn sau          3 3 lim 2 3 1 n n n Lời giải              3 2 2 1 lim 3 1 n n n Câu 108: Tìm giới hạn sau   2 lim 2 n n n   Lời giải   2 lim 2 n n n   = 2 2 lim 2 n n n n   = 2 lim 2 1 1 n   =1 Câu 109: Tìm giới hạn sau          2 2 lim 4 3 n n Lời giải          2 2 lim 4 3 n n =              2 2 4 3 lim 1 1 n n n
43. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 42 Sưu tầm và biên soạn Câu 110: Tìm giới hạn sau       2 2 4 1 1 lim 4 1 n n n n n Lời giải       2 2 4 1 1 lim 4 1 n n n n n                   2 2 2 4 1 1 lim 4 1 4 1 n n n n n n n n                                          2 2 2 2 3 1 4 1 4 1 lim 4 1 4 1 4 1 n n n n n n n n n n n                                                   3 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 3 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 4 4 4 n n n n n n n n n n n                                                   2 2 2 2 1 4 1 4 1 3 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 4 4 4 n n n n n n n n n n   Câu 111: Giá trị của giới hạn   lim 5 1 n n    bằng: Lời giải 5 1 0 n n       nhân lượng liên hợp   4 lim 5 1 lim 0 5 1 n n n n         Câu 112: Giá trị của giới hạn   2 lim 1 n n n    là: Lời giải 2 1 0 n n n       nhân lượng liên hợp   2 2 2 1 1 1 1 lim 1 lim lim 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n                  Câu 113: Giá trị của giới hạn   2 2 lim 2 2 n n n n    là: Lời giải 2 2 2 2 0 n n n n       nhân lượng liên hợp :
44. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 43 Sưu tầm và biên soạn   2 2 2 2 4 4 lim 2 2 lim lim 2. 2 2 2 2 1 1 n n n n n n n n n n n             Câu 114: Có bao nhiêu giá trị của a để     2 2 2 lim 2 1 0. n a n n a n       Lời giải   2 2 2 2 1 0 n a n n a n         nhân lượng liên hợp: Ta có       2 2 2 2 2 2 2 1 lim 2 1 lim 1 a a n n a n n a n n n n             2 2 2 1 2 1 2 lim 0 . 2 2 1 1 1 1 a a a a a n a n n                   Câu 115: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa   2 2 lim 8 0 n n n a     . Lời giải Nếu 2 2 8 0 n n n a       nhân lượng liên hợp : Ta có     2 2 2 2 2 2 8 2 8 lim 8 lim lim 1 1 1 a n a n n n a n n n n            2 4 0 2. a a       Câu 116: Cho dãy số   n u với 2 2 5 1 n u n an n      , trong đó a là tham số thực. Tìm a để lim 1. n u   Lời giải 2 2 5 1 0 n an n        nhân lượng liên hợp :   2 2 2 2 2 2 4 1 lim lim 5 1 lim 5 1 4 lim 2. 2 5 1 1 1 n an u n an n n an n a a n a a n n n                        Câu 117: Tính   2 3 3 lim 4 3 8 n n n n    Lời giải Ta có:   2 3 3 lim 4 3 8 n n n n        2 3 3 lim 4 3 2 2 8 n n n n n n            
45. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 44 Sưu tầm và biên soạn     2 3 3 lim 4 3 2 2 8 n n n n n n n             . Ta có:   2 lim 4 3 2 n n n     2 3 lim 4 3 2 n n n    2 3 3 lim 4 3 4 2 n           . Ta có:   3 3 lim 2 8 n n n n     2 2 2 3 3 3 3 lim 4 2 8 8 n n n n n n n             2 3 3 2 2 1 1 lim 12 1 1 4 2 8 8 n n                       . Vậy   2 3 3 3 1 lim 4 3 8 4 12 n n n n      2 3  . Câu 118: Tính giới hạn của dãy số   2 3 3 2 lim 1 2 1 L n n n n n        .: Lời giải Ta có:     2 3 3 2 lim 1 2lim 1 L n n n n n n         Mà:   2 2 1 lim 1 lim 1 n n n n n n n         2 1 1 1 lim 2 1 1 1 1 n n n         2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 1 lim 1 lim ( 1) . 1 n n n n n n n n n n            2 2 3 3 4 6 3 1 1 1 lim 3 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n                Vậy 1 2 1 2 3 6 L     . Câu 119: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 1 1 .... 2 4     S Lời giải Ta có 1 1 1 1 .... 1. 2 1 2 4 1 2 S        Câu 120: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 4 2 1 ....      S Lời giải
46. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 45 Sưu tầm và biên soạn Ta có 4 8 4 2 1 .... 1 3 1 2 S           Câu 121: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 2 1 1 1 1 ... ... 2 2 2       n S có kết quả bằng: Lời giải Ta có 2 1 1 1 1 1 ... ... 2 1 2 2 2 1 2 n S          Câu 122: Tính giới hạn 2 2 2 2 2 1 ... 5 5 5 lim 3 3 3 1 ... 4 4 4 n n                                 Lời giải Ta có 1 2 2 1 2 1 5 2 2 2 2 1 ... 1 5 5 5 5 lim lim 3 3 3 3 1 ... 1 4 4 4 4 3 1 4 n n n n                                                         1 1 2 1 5 2 5 1 5 5 3 lim 1 12 3 1 4 4 3 1 4 n n                         Câu 123: Cho hình vuông ABCD có độ dài là1. Ta nội tiếp trong hình vuông này một hình vuông thứ 2 , có đỉnh là trung điểm của các cạnh của nó. Và cứ thế ta nội tiếp theo hình vẽ. Tính tổng chu vi của các hình vuông đó Lời giải Gọi ; ; ;...; .. n a a a a  1 2 3 1 lần lượt là cạnh của các hình vuông thứ 1 , thứ 2 . thứ n . Ta có a   2 1 1 2 2 2 . a         2 3 1 1 2 2 2 2
47. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 46 Sưu tầm và biên soạn . a          3 4 1 1 1 2 4 2 2 2 . a          4 5 1 1 1 2 4 2 2 2 . . n n a           1 1 1 1 2 4 2 2 2 Gọi n S là tổng các chu vi của n hình vuông Ta có . . ... . n n S                   2 1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 2 . ... n                         2 1 1 1 1 4 1 2 2 2 . n         1 1 2 4 1 1 2 Tổng chu vi của các hình vuông đó là:   lim lim . n n S             1 1 4 2 2 4 4 2 2 1 2 1 1 2
48. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 1 Sưu tầm và biên soạn C H Ư Ơ N G III GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III == =I DẠNG. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?. A. Nếu lim n u   và limv 0 n a   thì   lim n n u v   . B. Nếu lim 0 n u a   và limvn   thì lim 0 n n u v        . C. Nếu lim 0 n u a   và limv 0 n  thì lim n n u v         . D. Nếu lim 0 n u a   và limv 0 n  và 0 n v  với mọi n thì lim n n u v         . Lời giải Chọn C Nếu lim 0 n u a   và limv 0 n  thì lim n n u v         là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của n v là dương hay âm. Câu 2: Cho dãy   n u có lim 3 n u  , dãy   n v có lim 5 n v  . Khi đó   lim . ? n n u v  A. 15. B. 8. C. 5. D. 3. Lời giải Nếu lim ,lim n n u a v b   thì   lim . . n n u v a b    lim . 3.5 15 n n u v   . Câu 3: Cho lim 3 n u   ; lim 2 n v  . Khi đó   lim n n u v  bằng A. 5  . B. 1  . C. 5 . D. 1. Lời giải   lim lim lim 3 2 5 n n n n u v u v         . Câu 4: Cho dãy số   n u thỏa mãn   lim 3 0 n u   . Giá trị của lim n u bằng
49. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 2 Sưu tầm và biên soạn A. 3 . B. 3  . C. 2 . D. 0 . Lời giải Ta có   lim 3 0 n u   lim 3 n u    . Câu 5: Cho hai dãy số   n u và   n v thoả mãn lim 6 n u  và lim 2 n v  . Giá trị của   lim n n u v  bằng A. 12 . B. 8 . C. 4  . D. 4 . Lời giải Ta có   lim lim lim n n n n u v u v    6 2 4    . Câu 6: Cho hai dãy số  , n u   n v thỏa mãn lim 4 n u   và lim 3 n v  . Giá trị của   lim . n n u v bằng A. 12 . B. 12  . C. 1. D. 7 . Lời giải Ta có:   lim . lim .lim n n n n u v u v    4 .3 12     Câu 7: Cho dãy số   n u thỏa mãn 3 lim . 2 n u  Giá trị của   lim 4 n u  bằng A. 11 2 . B. 11 4 . C. 13 2 . D. 13 4 . Lời giải   3 11 lim 4 4 2 2 n u     Câu 8: Cho lim 3 n a   , lim 5 n b  . Khi đó   lim n n a b  bằng A. 2  . B. 8 . C. 2 . D. 8  . Lời giải Ta có:     lim lim lim 3 5 8 n n n n a b a b         . Câu 9: Nếu lim 3 n u   ; lim 1 n v  thì   lim n n u v  bằng: A. 1  . B. 1. C. 2  . D. 4  . Lời giải Ta có:   lim lim lim 3 1 2 n n n n u v u v         Câu 10: Cho dãy số   n u thỏa mãn   lim 2 0 n u   . Giá trị của lim n u bằng A. 2 . B. 2  . C. 1. D. 0 . Lời giải Xét:   lim 2 0 lim 2 n n u u     . Câu 11: Cho hai dãy số     , n n u v thỏa mãn 3 lim lim 2, n n u v    . Giá trị của   lim . n n u v bằng A. 6 B. 5 C. 6  D. 1  Lời giải     lim 2. 3 6 n n v u    
50. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 3 Sưu tầm và biên soạn Câu 12: Cho dãy số   n u thỏa mãn lim 5 n u   . Giá trị của   lim 2 n u  bằng A. 3 B. 7  C. 10 D. 10  Lời giải Ta có       lim 5 2 7 2 n u        Câu 13: Cho dãy số   n u thỏa mãn   lim 3 0 n u   . Giá trị của lim n u bằng A. 4 . B. 3 . C. 3  . D. 0 . Lời giải   lim 3 0 lim 3 n n u u     . Câu 14: Cho dãy số   n u ,   n v thỏa mãn lim 11 n u  , lim 4 n v  . Giá trị của   lim n n u v  bằng A. 4 . B. 7 . C. 11. D. 15 . Lời giải Ta có   lim 11 4 15 n n u v     . Câu 15: Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,13131313... P  , A. 212 99 P  B. 213 100 P  . C. 211 100 P  . D. 211 99 P  . Lời giải Chọn D Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài Câu 16: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Ta nói dãy số   n u có giới hạn là số a khi n   , nếu   lim 0 n n u a    . B. Ta nói dãy số   n u có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu n u có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. C. Ta nói dãy số   n u có giới hạn  khi n   nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số   n u có giới hạn  khi n   nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Lời giải Chọn A Câu 17: Cho các dãy số     , n n u v và lim , lim n n u a v    thì lim n n u v bằng A. 1. B. 0 . C.  . D.  . Lời giải Chọn B Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số     , n n u v và lim , lim n n u a v    trong đó a hữu hạn thì lim 0 n n u v  .
51. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 4 Sưu tầm và biên soạn Câu 18: Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng? lim k n   với k nguyên dương. lim n q   nếu 1 q  . lim n q   nếu 1 q  A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D lim k n   với k nguyên dương   I  là khẳng định đúng. lim n q   nếu 1 q    II  là khẳng định sai vì lim 0 n q  nếu 1 q  . lim n q   nếu 1 q    III  là khẳng định đúng. Vậy số khẳng định đúng là 2 . Câu 19: Cho dãy số   n u thỏa 3 2 1 n u n   với mọi * n . Khi đó A. lim n u không tồn tại. B. lim 1 n u  . C. lim 0 n u  . D. lim 2 n u  . Lời giải Chọn D Ta có: 3 2 1 n u n     3 2 1 lim lim 0 n u n     2 0 im l m 2 l i n n u u      . Câu 20: Phát biểu nào sau đây là sai? A. lim n u c  ( n u c  là hằng số ). B. lim 0 n q    1 q  . C. 1 lim 0 n  . D. 1 lim 0 k n    1 k  . Lời giải Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số thì lim 0 n q    1 q  . DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Câu 21: Tính 3 1 lim 3 n L n    . A. 1. L  B. 0. L  C. 3. L  D. 2. L  Lời giải Chọn B
52. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 5 Sưu tầm và biên soạn Ta có 2 3 3 3 1 1 1 0 lim lim 0 3 3 1 1 n n n n n        . Câu 22: 1 lim 5 3 n  bằng A. 0 . B. 1 3 . C.  . D. 1 5 . Lời giải Chọn A Ta có 1 1 lim lim 0 3 5 3 5 n n n     . Câu 23: 1 lim 2 7 n  bằng A. 1 7 . B.  . C. 1 2 . D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: 1 lim 2 7 n  1 lim 0 7 2 n n    . Câu 24: 1 lim 2 5 n  bằng A. 1 2 . B. 0 . C.  . D. 1 5 . Lời giải Chọn B Ta có: 1 lim 2 5 n  1 1 lim . 0 5 2 n n    . Câu 25: 1 lim 5 2 n  bằng A. 1 5 . B. 0 . C. 1 2 . D.  . Lời giải Chọn B
53. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 6 Sưu tầm và biên soạn 1 1 1 1 lim lim 0. 0 2 5 2 5 5 n n n                . Câu 26: Tìm 2 3 3 2 7 2 1 lim . 3 2 1 n n I n n      A. 7 3 . B. 2 3  . C. 0 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 3 3 3 2 3 7 1 2 7 2 1 2 lim lim . 2 1 3 2 1 3 3 n n n n I n n n n             Câu 27: 2 6 5 2 3 lim 5 n n n   bằng: A. 2 . B. 0 . C. 3 5  . D. 3  . Lời giải Ta có 2 6 5 2 3 lim 5 n n n   4 6 2 3 lim 5 1 n n n    0  . Câu 28: 2018 lim n bằng A.  . B. 0 . C. 1. D.  . Lời giải Chọn B Câu 29: Tính giới hạn 2 2 1 lim 2 n L n n     ? A. L   . B. 2 L   . C. 1 L  . D. 0 L  . Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 lim lim 0 2 1 2 1 n n n L n n n n          . Câu 30: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? A. 2 2 2 5 3 n n u n n    . B. 2 2 2 5 3 n n n u n n    . C. 2 1 2 5 3 n n u n n    . D. 2 2 1 2 5 3 n n u n n    . Lời giải
54. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 7 Sưu tầm và biên soạn Chọn C  Xét đáp án A. 2 2 2 2 1 2 1 lim lim 5 5 3 3 3 n n n n n       .  Xét đáp án B. 2 2 2 1 2 1 lim lim 5 5 3 3 3 n n n n n n        Xét đáp án C. 2 2 1 2 1 2 lim lim 0 5 5 3 3 n n n n n n       .  Xét đáp án D. 2 2 2 1 2 1 2 2 lim lim 5 5 3 3 3 n n n n n        . Câu 31: Tính 2 2 3 lim 2 3 1 n I n n     A. I   . B. 0 I  . C. I   . D. 1 I  . Lời giải 2 2 3 lim 2 3 1 n I n n     2 2 2 2 2 3 lim 3 1 2 n n n n n n                 2 2 2 3 lim 3 1 2 n n n n     0  . Câu 32: Tìm lim n u biết 2 2 2 1 1 1 ... 2 1 3 1 1 n u n        . A. 3 4 . B. 3 5 . C. 2 3 D. 4 3 . Lời giải Chọn A Ta có:    2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 1 3 1 1 1.3 2.4 3.5 1 1 n u n n n               1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 3 2 4 3 5 1 1 n n                    1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 4 2 1 n n              . Suy ra:   3 1 3 lim lim 4 2 1 4 n u n           . Câu 33: Tính giới hạn   1 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 3.4 1 n n            . A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 2 . Lời giải
55. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 8 Sưu tầm và biên soạn Ta có:   1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 1 n n      1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 n n n n             1 1 1 n    . Vậy   1 1 1 1 lim ... 1.2 2.3 3.4 1 n n            1 lim 1 1 1 n           . Câu 34: Tìm 1 1 1 lim ... 1 1 2 1 2 ... L n               A. 5 2 L  . B. L   . C. 2 L  . D. 3 2 L  . Lời giải Ta có 1 2 3 ... k     là tổng của cấp số cộng có 1 1 u  , 1 d  nên   1 1 2 3 ... 2 k k k         1 2 1 2 ... 1 k k k       2 2 1 k k    , * k   . 2 2 2 2 2 2 2 2 lim ... 1 2 2 3 3 4 1 L n n                 2 2 lim 1 1 n          2  . Câu 35: Với n là số nguyên dương, đặt   1 1 1 ... 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n S n n n n          . Khi đó lim n S bằng A. 1 2 1  B. 1 2 1  . C. 1. D. 1 2 2  . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có   1 1 1 n n n n      1 1 1 n n n n     1 1 1 1 1 n n n n n n        . Suy ra   1 1 1 ... 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 n S n n n n          . 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 1 2 2 3 1 1 n n n           . Suy ra lim 1 n S  Câu 36: Tính giá trị của 2 cos sin lim . 1 n n n   A. 1. B. 0. C. .  D. .  Lời giải
56. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 9 Sưu tầm và biên soạn Ta có 2 2 2 cos sin cos sin 2 0 1 1 1 n n n n n n n         và 2 2 lim 0 1 n   . Suy ra 2 cos sin lim 0. 1 n n n    Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Câu 37: Tìm 4 2 3 2 4 lim 4 2 3 n n n n     . A. 1  . B.  . C. 0 . D. 3 4 . Lời giải Ta có: 4 3 4 2 2 3 4 2 4 3 3 2 4 lim lim 4 2 3 4 2 3 n n n n n n n n n            . Câu 38: 2 1 lim 1 n n n    bằng A. 1. B. 2 . C. 1  . D. 2  . Lời giải 1 1 2 2 2 1 lim lim lim 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n                         . Câu 39: 2 1 lim 1 n n   bằng A. 2 . B.  . C.  . D. 1. Lời giải 1 2 2 1 lim lim 2. 1 1 1 n n n n       Câu 40: 3 5 lim 2 4 n n   bằng A. 3 2 . B. 5 4  . C. 3 . D. 4  . Lời giải Ta có 5 3 3 5 lim lim 4 2 4 2 n n n n      3 2  . Câu 41: Tính 3 1 lim 3 n L n   
57. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 10 Sưu tầm và biên soạn A. 2 L  . B. 3 L  . C. 0 L  . D. 1 L  . Lời giải Ta có: 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 0 lim lim lim 0 3 3 3 1 1 1 n n n n n n L n n n n                        Câu 42: Tính 2 1 lim 3 A n         A. 3 A  . B. A   . C. A   . D. 0 A  . Lời giải Ta có: 2 1 lim 3 3 0 3 A n            . Câu 43: Tính giới hạn    3 1 2 3 lim 2 n n J n     ? A. 3 2 J   . B. 2 J  . C. 0 J  . D. 2 J   . Lời giải Ta có:    2 2 3 3 3 3 2 5 3 1 2 3 2 5 3 lim lim lim 0 2 2 2 1 n n n n n n n J n n n              . Câu 44: Giới hạn dãy số bằng: 2 2 2 3 1 lim 2 n n n n    A. 3. B. 2. C. 1. D. 3 . 2  Lời giải Ta có 2 2 2 3 1 2 2 3 1 lim lim 2. 2 2 1 n n n n n n n         Câu 45: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 1  ? A. 2021 lim 2022   n n . B. 2022 lim 2022 1   n n . C. 2 2022 lim 2022 1   n n . D. 2 2 2022 lim 2022   n n n . Lời giải Ta có: 2 2 2 2022 1 2022 1 lim lim 1 2022 2022 1 1          n n n n n . Câu 46: Dãy số   n u nào sau đây có giới hạn bằng 1 5 ?
58. – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 11 Sưu tầm và biên soạn A. 2 1 2 5 5 n n u n    . B. 2 1 2 5 5 n n u n n    . C. 2 2 2 5 5 n n n u n n    . D. 1 2 5 5 n n u n    . Lời giải Ta có: 2 2 2 lim 5 5 n n n n   2 2 2 1 1 lim 5 5 5 n n n n                 . Câu 47: Tìm a để 2 2 3 2 lim 3 9 5 an n n    . A. 4 a  . B. 6 a  . C. 8 a  . D. 9 a  . Lời giải Ta có: 2 2 3 2 lim 3 9 5 an n n    2 3 2 lim 5 3 9 a n n     2 9 3 a   6 a   . Vậy 6 a  . Câu 48: Tính giới hạn    3 1 4 2 lim . 2 n n I n     A. 0 I  . B. 2 I  . C. 1 I  . D. 3 I  . Lời giải    2 3 3 3 3 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 2 1 lim lim lim . 0. 2 2 2 1 1 n n n n n n n I n n n n n                                      Vậy 0. I  Câu 49: Tính 1 19 lim 18 19 n n   . A.  . B. 1 19 . C. 1 18 . D. 19 18 . Lời giải Ta có 1 19 1 19 19 lim lim 19 18 19 18 18 n n n n       . Câu 50: Biết 4 lim 2 4 3 an n     tìm A. 2 1 7 a    B. 2 1 8 a    C. 2 1 15 a    D. 2 1 17 a    Lời giải

Bài tập trắc nghiệm giới hạn trần quốc nghĩa năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội