Bài 96. Cho tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn \[[O]\] và tia phân giác của góc \[A\] cắt đường tròn tại \[M\]. Vẽ đường cao \[AH\]. Chứng minh rằng:
- \[OM\] đi qua trung điểm của dây \[BC\].
- \[AM\] là tia phân giác của góc \[OAH\].
Hướng dẫn trả lời:
- Vì \[AM\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên \[\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\]
Mà \[\widehat {BAM}\] và \[\widehat {MAC}\] đều là góc nội tiếp của \[[O]\] nên
\[\overparen{BM}\]=\[\overparen{MC}\]
⇒ \[M\] là điểm chính giữa cung \[BC\]
Vậy \[OM \bot BC\] và \[OM\] đi qua trung điểm của \[BC\]
- Ta có : \[OM \bot BC\] và \[AH\bot BC\] nên \[AH//OM\]
\[ \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {AM{\rm{O}}}\] [so le trong] [1]
Mà \[∆OAM\] cân tại \[O\] nên \[\widehat {AM{\rm{O}}} = \widehat {MAO}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {HA{\rm{M}}} = \widehat {MAO}\]
Vậy \[AM\] là đường phân giác của góc \[OAH\]
Bài 97 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Bài 97. Cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\]. Trên \[AC\] lấy một điểm \[M\] và vẽ đường tròn đường kính \[MC\]. Kẻ \[BM\] cắt đường tròn tại \[D\]. Đường thẳng \[DA\] cắt đường tròn tại \[S\]. Chứng minh rằng:
- \[ABCD\] là một tứ giác nội tiếp;
- \[\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\] ;
- \[CA\] là tia phân giác của góc \[SCB\]
Hướng dẫn trả lời:
- Ta có góc \[\widehat {MDC}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[[O]\] nên \[\widehat {MDC} = {90^0}\]
⇒ \[∆CDB\] là tam giác vuông nên nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\] .
Ta có \[∆ABC\] vuông tại \[A\].
Do đó \[∆ABC\] nội tiếp trong đường tròn tâm \[I\] đường kính \[BC\].
Ta có \[A\] và \[D\] cùng nhìn \[BC\] dưới một góc \[90^0\] không đổi nên tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\]
- Ta có \[\widehat {AB{\rm{D}}}\] là góc nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] chắn cung \[AD\].
Tương tự góc \[\widehat {AC{\rm{D}}}\] là góc nội tiếp trong đường tròn \[[I]\] chắn cung \[AD\]
Vậy \[\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\]
- Ta có:
\[\widehat {S{\rm{D}}M} = \widehat {SCM}\] [vì góc nội tiếp cùng chắn cung \[MS\] của đường tròn \[[O]\]]
\[\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {ACB}\] [là góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\] của đường tròn \[[I]\]
Mà \[\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {S{\rm{D}}M} \Rightarrow \widehat {SCM} = \widehat {ACB}\]
Vậy tia \[CA\] là tia phân giác của góc \[SCB\]
Bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Bài 98. Cho đường tròn \[[O]\] và một điểm \[A\] cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm \[M\] của dây \[AB\] khi điểm \[B\] di động trên đường tròn đó.
Hướng dẫn trả lời:
+] Phần thuận: Giả sử \[M\] là trung điểm của dây \[AB\]. Do đó, \[OM \bot AB\]. Khi \[B\] di động trên đường tròn \[[O]\] điểm \[M\] luôn nhìn đoạn \[OA\] cố định dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích của điểm \[M\] là đường tròn tâm \[I\] đường kính \[OA\].
+] Phần đảo: Lấy điểm \[M’\] bất kì trên đường tròn \[[I]\]. Nối \[M’\] với \[A\], đường thẳng \[M’A\] cắt đường tròn \[[O]\] tại \[B’\]. Nối \[M’\] với \[O\], ta có \[\widehat {AM'O} = {90^0}\] hay \[OM’ \bot AB’ \]
⇒ \[M\] là trung điểm của \[AB’\]
Kết luận: Tập hợp các trung điểm \[M\] của dây \[AB\] là đường tròn đường kính \[OA\].
Bài 99 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Bài 99. Dựng \[ΔABC\], biết \[BC = 6cm\], góc \[\widehat{BAC} = 80^0\], đường cao \[AH\] có độ dài là \[2cm\].
Hướng dẫn trả lời:
Cách dựng như sau:
- Đầu tiên dựng đoạn \[BC = 6cm\]
- Dựng cung chứa góc \[80^0\] trên đoạn \[BC\].
- Dựng đường thằng \[xy // BC\] và cách \[BC\] một khoảng là \[2cm\]. Đường thẳng \[xy\] cắt cung chứa góc \[80^0\] tại hai điểm \[A\] và \[A’\]
Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H [góc C khác 90o] và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E.
Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD
Đề bài
Các đường cao hạ từ \[A\] và \[B\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H\] [góc \[C\] khác \[90^0\]] và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] lần lượt tại \[D\] và \[E\]. Chứng minh rằng:
- \[CD = CE\] ; b] \[ΔBHD\] cân ; c] \[CD = CH\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng: “Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau” và hai góc phụ nhau từ đó suy ra hai cung bằng nhau và hai dây bằng nhau.
- Chứng minh tam giác BHD có BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên nó là tam giác cân
- Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng
Lời giải chi tiết
- Gọi K là giao điểm của BC và AD
Gọi I là giao điểm của BE và AC
Cách 1:
Ta có: \[\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}B}\] [1] [2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\]]
\[\widehat {DBC} + \widehat {ADB} = {90^0}\] [2] [do tam giác BDK vuông tại K]
\[\widehat {AEB} + \widehat {CAE} = {90^0}\] [3] [do tam giác AIE vuông tại I]
Từ [1], [2], [3] \[ \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {CA{\rm{E}}}\] [cùng phụ với hai góc bằng nhau]
Có \[\widehat {CBD}\] là góc nội tiếp chắn cung CD
\[\widehat {EAC}\] là góc nội tiếp chắn cung CE
⇒ \[sđ\overparen{CD}\]= \[sđ\overparen{CE}\]
Suy ra \[CD = CE\]
Cách 2:
Vì \[BC \bot AD\] nên \[\widehat{AKB}=90^0\]
Lại có \[\widehat{AKB}\] là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CD nên
\[\widehat{AKC}=\dfrac{sđ\overparen {DC}+sđ \overparen {BA}}{2}=90^0\]
Suy ra \[sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CD}=180^0\] [1]
Vì \[BE \bot AC\] nên \[\widehat{AIB}=90^0\]
Lại có \[\widehat{AIB}\] là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn cung AB và CE nên
\[\widehat{AIB}=\dfrac{sđ\overparen {CE}+sđ \overparen {AB}}{2}=90^0\]
Suy ra \[sđ\overparen {AB}+sđ \overparen {CE}=180^0\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[sđ \overparen {CE}=sđ \overparen {CD}\]
Suy ra \[ \overparen {CE}=\overparen {CD}\], do đó \[CE=CD.\]
- Ta có \[\widehat {EBC}\] và \[\widehat {CB{\rm{D}}}\] là góc nội tiếp lần lượt chắn cung \[\overparen{CE}\] và \[\overparen{CD}\] trong đường tròn \[O\] và \[\overparen{CD}\]= \[\overparen{CE}\]
nên \[\widehat {EBC} = \widehat {CB{\rm{D}}}\] [ 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau]
\[\Rightarrow\] BK là phân giác của \[\widehat {HBD}\]
Lại có BK vuông góc với HD [giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC]. Suy ra BK vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác HBD nên \[∆BHD\] cân tại \[B\]
- Vì \[∆BHD\] cân nên đường cao \[BK\] đồng thời là đường trung trực.
Điểm \[C\] nằm trên đường trung trực của \[HD\] nên \[CH = CD\]
- Bài 96 trang 105 SGK Toán 9 tập 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O] và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M.
- Bài 97 trang 105 SGK Toán 9 tập 2 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2
Giải bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập 2. Cho đường tròn [O] và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.