1. a] Viết tiếp vào chỗ chấm […] để thực hiện các biến đổi sau
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] [1]
– Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: ax2 + bx = ……….
– Chia hai vế cho hệ số a [a ≠ 0]:
Thêm vào hai vế
Ta được:
Kí hiệu ∆ = b2 – 4ac và gọi nó là biệt thức của phương trình [1] [∆ là một chữ cái Hi Lạp, đọc là “denta”].
b] Viết tiếp vào chỗ chấm […] để xét các trường hợp của biệt thức
– Nếu ∆ > 0 thì từ phương trình [2] suy ra:
Do đó, phương trình [1] có hai nghiệm: x1 = … ; x2 = …
– Nếu ∆ = 0 thì từ phương trình [2] suy ra:
Do đó, phương trình [1] có nghiệm kép: x = ……….
– Nếu ∆ < 0 thì phương trình [1] vô nghiệm vì …………..
c] Đọc kĩ nội dung sau
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] và biệt thức ∆ = b2 – 4ac:
– Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
– Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép
– Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
i] 2x2 + x – 6 = 0;
– Tính ∆ = b2 – 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 2; b = 1; c = -6.
∆ = 12 – 4.2.[-6] = 1 + 48 = 49 > 0
– Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm,phương trình có hai nghiệm phân biệt:
ii] y2 – 8y + 16 = 0
– Tính ∆ = b2 – 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 1, b = -8, c = 16.
∆ = [-8]2 – 4.1.16 = 0
– Do ∆ = 0 nên phương trình có nghiệm kép:
iii] 3z2 + 5z + 4 = 0
– Tính ∆ = b2 – 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 3; b = 5; c = 4.
∆ = 52 – 4.3.4 = -23 < 0
– Do < 0 nên phương trình vô nghiệm.
d] Giải các phương trình sau
i] 6x2 + x – 5 = 0
ii] x2 – 6x + 9 = 0
iii] 6x2 – x + 5 = 0
Hãy nhận xét về dấu của hai hệ số a và c trong phương trình 6x2 + x – 5 = 0. Dấu của hai hệ số a và c đó có liên quan gì tới dấu của biệt thức?
Em hãy rút ra nhận xét về số nghiệm của phương trình bậc hai trong những trường hợp như vậy.
e] Đọc kĩ nội dung sau
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] có a và c trái dâu, tức là ac < 0 thì ∆ = b2 – 4ac > 0. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Trả lời:
a] Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: ax2 + bx = −c
Chia hai vế của hệ cho hệ số a [a ≠ 0]:
Tách hạng tử
Thêm vào hai vế
b]
• Nếu Δ > 0 thì từ phương trình [2] suy ra:
Do đó, phương trình [1] có hai nghiệm
• Nếu Δ = 0 thì từ phương trình [2] suy ra:
Do đó, phương trình [1] có nghiệm kép:
• Nếu Δ < 0 thì phương trình [1] vô nghiệm vì
c]
i] 6x2 + x – 5 = 0
Δ = 12 − 4×6×[−5] = 121 > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
ii] x2 − 6x + 9 = 0
Δ = [−6]2 − 4×1×9 = 0
Vậy phương trình có nghiệm kép:
iii] 6x2 − x + 5 = 0
Δ = [−1]2 − 4×6×5 = −119 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
Nhận xét: Dấu của hệ số a và c trong phương trình 6x2 + x − 5 = 0 là trái dấu.
Khi a và c trái dấu thì biệt thức Δ > 0, và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
1. Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:
Bài làm:
a] x2 − 10x + 27 = 0
Δ = b2 − 4ac = [−10]2 − 4×1×27 = −8 < 0
Vậy, phương trình có 0 nghiệm.
b] − 0,5x2 − 3,5x + 2,5 = 0
Δ = b2 − 4ac = [−3,5]2 − 4×[−0,5]×2,5 = 17,25 > 0
Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
2. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:
a] 2x2 – 7x + 6 = 0
b] 3x2 – 5x + 7 = 0
c] 0,2x2 + 0,4x – 7 = 0
d] -3x2 + 5x – 2 = 0
e] y2 – 14y + 49 = 0
g] t2 – 5t + 3 = 0
Bài làm:
Giải phương trình bậc hai một ẩn trên máy tính CASIO fx-570ES PLUS
Công cụ EQN [Equation] trên máy tính CASIO fx-570ES PLUS giúp chúng ta giải phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0].
Ta thực hiện như sau:
– Ấn phím MODE, màn hình máy tính sẽ hiện ra các dòng:
– Chọn phím 5 để giải các phương trình bậc hai, bậc ba và hệ phương trình. Khi đó, màn hình sẽ hiện ra các dòng:
– Đề giải phương trình bậc hai một ẩn ta ấn phím 3, sau đó nhập lần lượt các hệ số của phương trình cùng phím = : a = b = c =.
Ví dụ 1. Giải phương trình 73x2 – 47x – 25460 = 0.
Ta ấn các phím như sau:
MODE → 5 → 3 → 7 3 = – 47 = -25460 =
Kết quả x1 = 19; x2 =
Nếu ấn tiếp phím S ⇔ D thì ta được kết quả -18,3562;
Ấn tiếp SHIFT S ⇔ D thì ta được
Ví dụ 2. Giải phương trình x2 + 2x + 4 = 0.
Vẫn trong môi trường giải phương trình bậc hai một ẩn, ta nhập:
1 = 2 = 4 =
Kết quả
Đây là nghiệm phức, ta sẽ được học trong chương trình trung học phổ thông.
Ta kết luận: Phương trình không có nghiệm thực, hay phương trình vô nghiệm.
1. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép?
Tìm nghiệm kép đó
a] x2 – mx + 1 = 0
b] 3x2 + mx + 12 = 0
Bài làm:
a] x2 – mx + 1 = 0
Δ = [−m]2 − 4×1×1 = m2 − 4
Để phương trình có nghiệm kép thì: Δ = m2 − 4 = 0 ⇒ m = ± 2
Nghiệm kép đó là:
b] 3x2 + mx + 12 = 0
Δ = m2 − 4×3×12 = m2 − 144
Để phương trình có nghiệm kép thì: Δ = m2 − 144 = 0 ⇒ m = ± 12
Nghiệm kép đó là:
2. Với giá trị nào của k thì mỗi phương trình sau vô nghiệm?
a] 2x2 + kx + 1 = 0
b] 5x2 + 10x + k = 0
Bài làm:
a] 2x2 + kx + 1 = 0
Δ = k2 − 4×2×1 = k2 − 8
Để phương trình vô nghiệm thì:
hay
b] 5x2 + 10x + k = 0
Δ = 102 − 4×5×k = 100 − 20k
Để phương trình vô nghiệm thì: Δ = 100− 20k < 0 ⇒ k > 5
3. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Khi đó, hãy tính nghiệm của phương trình theo m.
a] 4x2 + mx – 7 = 0
b] 2x2 + 3x + m – 1 = 0
Bài làm:
a] 4x2 + mx − 7 = 0
Δ = m2 − 4×4×[−7] = m2 + 112
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: Δ = m2 + 112 > 0 [đúng với mọi giá trị của m]
Hai nghiệm đó là:
b] 2x2 + 3x + m − 1 = 0
Δ = 32 − 4×2×[m − 1] = 1 − m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: Δ = 1 − m > 0 ⇒ m < 1
Hai nghiệm đó là:
4. Em có biết?
Vào năm 628 sau Công Nguyê, Bra-ma-gup-ta [Brahmagupta], một nhà toán học Ấn Độ đã đưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên [dù vẫn chưa hoàn toàn tổng quát] cho phương trình bậc hai ax2 + bx = c. Sau đó, vào thế kỉ IX, nhà bác học An Khô-va-ri-zmi [Al-Khowarizmi] ở thành Bát-đa [Baghdad – Thủ đô nước I-rắc ngày nay] cũng tìm được công thức này bằng phương pháp tách ra một bình phương nhờ một minh họa hình học. Chẳng hạn, để giải phương trình x2 + 10x = 39, ông đã biến vế trái thành một bình phương như minh họa trên hình 14.
Hình vẽ này cho thấy, nếu cộng
[Trang 46, Sách giáo khoa Toán 9 tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam,2016]